円錐の容積

質問

円状画用紙から角度θの扇形を切り取って円錐を作ったとき、円錐の容積が最大になるときの切り取り角度θを求める問題なのですが、切り取り角度θの求め方がわかりません！
円状画用紙の半径は５ｃｍですっ
何度で切り取れば容積が最大になるのでしょうか・・・？

どなたかわかる方、教えてください！
お願いします・・・！

回答No.3

noname#231526 · ベストアンサー

解いてしまうと削除対象になりそうなので、ヒントだけ書きます。

　円錐の体積の公式 V = (1/3)π* r^2 * h …(1)
を出発点として考えることにします。
　使うのは円錐の高さhではなくて母線の長さエルですが、エルが数字の１と紛らわしいのでここではエルのかわりにpを使うことにします。
　p^2 = r^2 + h^2 … (2)
です。
　ここで条件は、p=5 ですが、要するにpが一定という条件です。
　この制約の下で、r と h とが変化したとき、V が最大になる r を求めるのが最初の目的となります。
　計算のしやすさを考えて、V が最大になる r ではなくて、V が最大になる h を求めることにします。(2)を使って (1)からrを消します。
　V = (1/3) * π * (p^2 - h^2) * h
= (1/3) * π * (p^2 * h - h^3) … (3)

　ここで、p=5 （一定）ですから、V は h の関数となります。
　V を h で微分すると、V' = (1/3) * π * ( p^2 - 3*h^2)
　となります。
　これから、V が最大となる h を求めればよいです。

　h が求まれば、これから r を求めます。
　r が求まれば、求める角度は計算できますね？
　角度の計算の時に実際に必要なのは r/p なので、r を求めるときに、r/p の形で求めておけば、計算が楽になります。

補足

ご回答ありがとうございます！
重ねての質問申し訳ありません。
Vをhで微分すると・・・
というところまでは理解できました。
しかし次の「これから、V が最大となる h を求めればよいです」というところがよくわかりませんでした。
Vmax=の式を立てるのでしょうか？でも、ｈもVmaxも不明でですし・・・、と考えていたら混乱してきました・・・！
どのような式を、または計算をすればよいのでしょうか？
もしよろしければ更なるご回答をお願いいたします・・・ｍ(__)ｍ

回答No.4

noname#231526

#3 です。#3 の補足質問に回答します。
　こちらとしては、なにをどこまで説明するのがよいのか、ご質問の背景がよく分からないと推し量りかねます。学生さんでしたら、学年や、この質問の背景を、社会人の方でしたら、この質問でなにを知るのが目標なのか（解き方なのか結論なのか）など一緒に書いてくださると有難いです。
　さて、このVは、h の３次式ですから、微分して、導関数の正負を調べて、もとの関数の増減を調べるのは、微分の使い方の基本の一つです。
　ここで、h の範囲なども関係しますが、(2)の式とp,r,h それぞれが正ということで h の範囲も求まります。
　結論からいうと、V'=0 と置いて、h について解くと、h>0 の範囲で解が一つ求まります。（V' は h の二次式で、解は二つですが、もう一つの解は 正負が逆になっています）。その解よりも h が小さいときは V'>0 、大きいときは V'<0 ですから、V は h がその値より小さいときには増加、大きいときには減少で、V'=0 となる h の時に V は最大となります。
　この説明で分かりますでしょうか？

回答No.2

debut

求める中心角をθ°とすると、半径５cmの扇の弧の長さは、
　　直径*π*(θ/360)なので、10π*(θ/360)＝πθ/36
底面の円周は２πｒだから、ｒ＝θ/72　です。

ここから、ｈを求めて体積Ｖをθの関数とみて、微分、増減調べなど
するのですが、分数が入り混じって煩わしいので、ｒをθに変換せず、
Ｖをｒの関数として扱い、最後にθに変換した方がよいかと思います。
（この場合、０＜ｒ＜５）

お礼

ご回答ありがとうございます！

回答No.1

pocopeco

容積は角度θの関数になります。
☆角度がθのとき、
円錐の底面の半径rを求める。(1)
扇の弧の長さと、底面の円周は同じ長さ。
☆半径r と扇の半径を使って、
円錐の高さhを求める。(2)
☆半径rと体積hを使って、体積の式をつくる。

(2)(1)を使って、体積の式をh,rのない式にします。
容積はθの関数になったはず。

補足

ご回答ありがとうございます！
扇の弧の長さは、(扇の半径5)*(2π－θ)。底面の円周は、2πrですよね。
それで半径rを求めると、r=5/2π*(2π－θ)　になりました。
次に半径rと扇の半径5を使って高さhを求めるとき、三平方の定理より、「h^2=r^2-5^2」を使いrに上の式を代入して計算しました。
するとｈ=√{(25*θ^2*π－100θ*π^2)/4π^3}となりよくわからなくなってしまいました・・・。
どこかで計算を間違えたのでしょうか？
重ね重ねの質問もうしわけありません・・・！