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複素数の問題
次の等式を満たす実数のxとyを求める問題なのですが、 (3x-y)+(2x+1)i=7+5i これは複素数の相等により解くことができるみたいなのですが、やり方がいまいちわかりません・・・。 答えはx=2.y=-1になるみたいですが、解き方がわからないのでご解説お願いします。
- studyanswer
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両辺２乗というよりは、こういうロジックだと思いますが．．．。 (3x-y)+(2x+1)i=7+5i 3x-y-7=(-2x+4)i・・・※ ここで、もし-2x+4≠0だとすれば、両辺を-2x+4で割って、 (3x-y-7)/(-2x+4)=i となるが、左辺は実数（∵xもyも実数）なのに、右辺は虚数となって矛盾してしまう。（←背理法です） したがって、-2x+4=0である。すると、※の右辺=0だから、3x-y-7=0となる。 以上より、 -2x+4=0 3x-y-7=0 となるから、これを解いて、x=2,y=-1
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- sanori
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複素数というのは、２次元ベクトルと同じです。 ２つの成分同士が一致して、初めて複素数同士が等号で結ばれます。 つまり、 ベクトル（７，５）とベクトル（3x-y，2x+1）が一致すればよいわけです。 あとは、この後の説明を、敢えて私が申し上げなくても、思いのほか簡単ということに気づかれたのでは。 以上だけだとつまらないので、 何で「複素数」が「２次元ベクトル」と話がつながるのかを解説します。 半径１の円は、ＸＹ座標系で表せば x^2 + y^2 ＝ １ 三角関数を使えば、パラメータθを使って x ＝ cosθ y ＝ sinθ と表すことができます。 複素数を勉強されている方ですから、ここまでは確実にご存知と思います。 一方、有名な公式で、オイラーの公式 ｅ^(iθ) ＝ cosθ ＋ ｉ・sinθ っていうのがあります。 すると、 実数部分をｘ、虚数部分をｙだとして、ＸＹ座標系のグラフに描けば、 ｚ ＝ ｅ^(iθ) の軌跡は、半径１の円と同じです。 しかも、これは、周期２πのθの周期関数ですから、θが２倍、３倍、４倍・・・のとき、原点から見た点の角度も２倍、３倍、４倍・・・になります。 同様に、異なるθ同士の指数関数同士を掛けたものは、 異なるθ同士をあらかじめ足し算してから、指数に組み込んだものと同じです。 なぜならば、指数関数同士を掛け算するときの法則により、 ｅ^(i・mθ)・ｅ^(i・nθ) ＝ ｅ^(i(m+n)θ) となるからです。 さて、 θ＝０のとき、ｘ＝cos０＝１、ｙ＝sin０＝０ つまり、ＸＹ座標系では「１」という実数です。 さらに、整数ｎを置いたとき、上記の「１」からスタートして、 「１」に ｅ^(i・2π/n) をｎ回掛け算すれば、元の「１」に戻ってきます。 ２ｎ回掛け算しても、元の「１」に、 ３ｎ回掛け算しても、元の「１」に・・・ ・・・ちょうど戻ってきます。 以上のことから、何が分かるかというと、 １の平方根は、ｅ^i(2π*1/2) と ｅ^i(2π*2/2) です。 （つまり、－１ と １ です。） １の立方根は、ｅ^i(2π*1/3) と ｅ^i(2π*2/3) ｅ^i(2π*3/3) です。 （つまり、-1/2+(√3)i/2 と -1/2-(√3)i/2 と １ です。） １の４乗根は、ｅ^i(2π*1/4) と ｅ^i(2π*2/4) ｅ^i(2π*3/4) と ｅ^i(2π*4/4) です。 （つまり、ｉ と －１ と －ｉ と １ です。） （以上の結果は、先程のオイラーの公式に当てはめれば、簡単に検算できますので） つまり、 １のｎ乗根は、３６０度をｎ分割したときの、円周上の点の（ｘ、ｙ）座標ですから、図解でｎ乗根を求めることが出来ます。 ５乗根は、 θ＝０度、７２度、１４４度、２１６度、２８８度 のときの、半径１の円周上の点の座標です。 このように、 複素数を２次元ベクトルに応用することによって、計算や考え方が簡単になる例は、物理などで頻繁に出てきます。 加えて、 指数関数の微積分は、三角関数の微積分よりも圧倒的に簡単なので、振動、電気回路、光・電磁波・・・例を挙げたら切りが無いほど応用されています。
- take008
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No1 さんの回答の補足説明 ------------------------------------ 与式を変形して (3x-y-7)=-(2x+1-5)i 両辺を2乗して (3x-y-7)^2=(2x+1-5)^2i^2=－(2x+1-5)^2 x,y は実数だから 0≦(3x-y-7)^2=－(2x+1-5)^2≦0 ゆえに 3x-y-7=0 かつ 2x+1-5=0 すなわち ------------------------------------- 3x-y=7 2x+1=5 ----- で挟まれた部分は既知のこととして省略してかまいません。
- sasaki626
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3x-y＝７ 2x+1＝５ 2式より答えx=2.y=-1
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