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恒等式

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  • 質問No.206822
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すべての定数xに対して、
     cos(x+α)+sin(x+β)+√2cosx
が一定になるようなα、βを求めよ。正し、0<α<180,0<β<180とする。

この問いで、『すべての定数x』と書いてあったから、xに適当な数を代入して
連立して解いてみたのですが、うまくいきません。どのようにしたらよいでしょうか?
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レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

たぶんですが。。。
0<α<180,0<β<180では、この式では解がないような気がしますが。。。
問題の式のどっかの符号か、もしくはα、βの定義域が違ったりしませんか?

考え方は、
1.加法定理で Acosx + Bsinx の形にすることができる。(A,Bはα、βを含む式)
2.(三角関数の合成を考えると)これがすべてのxについて一定であるためには、A^2+B^2=0 すなわちA=B=0であることが必要十分。→未知数α、βの2つに対して、条件式2つ完成。

ということなのですが、cosxの係数が、cosα+sinβ+√2となり、0<β<180よりsinβ>=0、かつcosα>=-1より、この係数は、-1+√2以上、すなわち0になることはありません。。。

ということで、+√2の符号が違う、もしくはα、βの定義域が0-360度であることを希望。。。(^^;)
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