微分の階数

質問

微分の階数を有理数や実数に拡張することはできるでしょうか？
例えば、1.5階微分とかπ階微分とかってできるのかなぁ、ってことです。

sin(x)を微分するとcos(x)=sin(x+π/2)になり、
cos(x)を微分すると-sin(x)=sin(x+π)になり...
と位相がπ/2ずつ回るので、これから類推してsin(x)の1/2階微分は
sin(x+π/4)か？微分の階数って回転と何か関係があるのか？などと
かってに思ってますがどうなんでしょう。

回答No.4

stomachman

> 微分の階数って回転と何か関係があるのか？
大当たり！だと思います。

●Diracのデルタ関数
∫δ(x) F(x) dx = F(0)　（積分はx=-∞～∞)
は、畳み込み積(convolution)
(f*g)(x) = ∫f(x-t) g(t) dt 　（積分はt=-∞～∞)
における単位元です。すなわち
(f*δ)(x) =(δ*f)(x) = f(x)
です。
δ関数のn階微分をδ~(n)と書くことにします。
　n階微分を畳み込み積を用いて表すことができます。すなわちf(x)のn階導関数をf~(n)(x)と書くと、
f~(n)(x) = (f*δ~(n))(x)= (f*δ~(n))(x)
である。要するにn階微分とは、δ関数のn階微分との畳み込み積を作ることです。これは部分積分の公式を使って示せます。

●では非整数階の微分を考えてみると、「a階微分(a≧0)とは、δ~(a)との畳み込み積を作ること」と言いたくなりますが、δ~(a)ってのは正体不明です。

●このままでは身動きとれないのですが、回答No.1でibm_111さんがFourier変換という方法をご指摘になっています。
　ここでは超関数のFourier変換を
g(y) =Fourier[x,y,f(x)] = ∫f(x) exp(-2πixy) dx　（積分はx=-∞～∞)
としましょう。
○すると逆Fourier変換は
f(x) = ∫g(y) exp(2πixy) dy　（積分はy=-∞～∞)
で表されます。つまり
f(y) = Fourier[y,x,g(-y)]
或いは
f(-x) = Fourier[y,x,Fourier[x,y,f(x)]]
ということですね。
　以下、Fourier変換して逆変換したら元に戻る、そういう関数・超関数だけを相手にして微分を考えることにしましょう。

○畳み込み積はFourier変換で単なる掛け算に変換されます。すなわち
Fourier[x,y,(f*g)(x)] = Fourier[x,y,f(x)] Fourier[x,y,g(x)]
だから、f(x)のn階微分f~(n)(x)のFourier変換は
Fourier[x,y,f~(n)(x)]=Fourier[x,y,f(x)] Fourier[x,y,δ~(n))(x)]
となる。

○Fourier変換をxの冪乗（いずれも超関数であることにご注意）に適用すると、以下の結果が得られます。
Fourier[x,y,x^n] = ((-2πi)^(-n))δ~(n)(y) (nは非負の整数)
Fourier[x,y,(|x|^a)] = (2cos(π(a+1)/2))Γ(a+1)((2π|y|)^(-a-1))　(aは非整数の実数）
Fourier[x,y,(|x|^a)sgn(x)] = (-2isin(π(a+1)/2))Γ(a+1)((2π|y|)^(-a-1)) sgn(y)　(aは非整数の実数）
ここに出てくるΓ(a+1)ってのはガンマ関数
Γ(a+1)=∫(x^(a+1))exp(-x) dx 　（積分はx=0～∞)
のことです。また符号関数sgn(x)は
sgn(x) = if x<0 then -1, if x>0 then 1
となる奇関数（つまりsgn(-x) = -sgn(x)）です。

●さて、nを非負の整数とするとき、n階微分δ~(n)(x)のFourier変換は
Fourier[x,y,δ~(n)(x)] = (2πiy)^n
です。（これはFourier[x,y,x^n] = ((-2πi)^(-n))δ~(n)(y)の両辺をもう一度Fourier変換して、f(-x) = Fourier[y,x,Fourier[x,y,f(x)]]を用いれば分かります。）

●だったら、a階微分のFourier変換も
Fourier[x,y,δ~(a)(x)] = (2πiy)^a
と言いたいところです。でも右辺の「複素数の非整数冪乗」ってのがどういう意味なのか、はっきりしませんね。とにかくその意味を決めてみましょう。

(2πiy)^a =((2π)^a)(|y|^a)(cos(aπ/2)+isgn(y)sin(aπ/2))

これなら、正の実数の実数冪と、実数を引数とする三角関数および符号関数で表されていますから、曖昧さはありません。
　指数の法則
((2πiy)^a) ((2πiy)^b) = ((2πiy)^(a+b))
が成り立つことも確かめられます。この法則は「aを正の非整数、mを正の整数、a<mとするとき、f(x)のa階導関数の(m-a)階導関数は、f(x)のm階導関数に等しい」ということを保証してくれます。
　勿論、aが整数nの場合には普通の冪乗(2πiy)^nと同じです。
　そして、逆フーリエ変換も既に挙げた(|x|^a)と(|x|^a)sgn(x)のフーリエ変換を使って表せ、
Fourier[y,x,((-2πiy)^a)]=
((2π)^a)(cos(aπ/2)Fourier[(|y|^a)]-i((2π)^a)sin(aπ/2)Fourier[(|y|^a)sgn(y)]
となりますから、超関数として意味が決まります。

●以上まとめると、
「非整数a>0について、f(x)のa階導関数は
Fourier[y,x, ((2π)^a)(|y|^a)(cos(aπ/2)+isgn(y)sin(aπ/2))Fourier[x,y,f(x)]]
である。」
ということで取りあえず定義できそうな感じですね。

●試しに
f(x) = sin x
についてa階導関数f~(a)(x)を計算してみましょう。
Fourier[x,y,sin x] = (δ(y-1/(2π))-δ(y+1/(2π)))/(2i)
を使うと、
f~(a)(x)=Fourier[y,x, ((2π)^a)(|y|^a)(cos(aπ/2)+isgn(y)sin(aπ/2))Fourier[x,y,f(x)]]
= ((2π)^a/(2i)) Fourier[y,x, (|y|^a)(cos(aπ/2)+isgn(y)sin(aπ/2))(δ(y-1/(2π))-δ(y+1/(2π)))]
= ((2π)^a/(2i)) Fourier[y,x, (|y|^a)(cos(aπ/2)+isgn(y)sin(aπ/2))δ(y-1/(2π))]
-((2π)^a/(2i)) Fourier[y,x, (|y|^a)(cos(aπ/2)+isgn(y)sin(aπ/2))δ(y+1/(2π))]
　δ(y+b)はy=-b以外ではゼロであり、従って 関数h(y)との積は、hがy=-bで連続であれば
h(y) δ(y+b) = h(-b) δ(y+b)
です。ゆえに、
f~(a)(x)
= ((2π)^a/(2i)) Fourier[y,x, (|1/(2π)|^a)(cos(aπ/2)+isgn(1/(2π))sin(aπ/2))δ(y-1/(2π))]
-((2π)^a/(2i)) Fourier[y,x, (|1/(2π)|^a)(cos(aπ/2)+isgn(-1/(2π))sin(aπ/2))δ(y+1/(2π))]
= (1/(2i))(cos(aπ/2)+isin(aπ/2)) Fourier[y,x, δ(y-1/(2π))]
-(1/(2i))(cos(aπ/2)-isin(aπ/2)) Fourier[y,x, δ(y+1/(2π))]
= (1/(2i))(exp(aπi/2)Fourier[y,x, δ(y-1/(2π))]-exp(-aπi/2) Fourier[y,x, δ(y+1/(2π))])
　Fourier[y,x,f(y)]=g(x)のとき、Fourier[y,x,f(y+b)] = exp(2πibx)g(x)
ですから、
Fourier[y,x, δ(y-1/(2π))] = exp(-ix)
Fourier[y,x, δ(y+1/(2π))] = exp(ix)
ゆえに、
f~(a)(x)= ((2π)^a/(2i))(|1/(2π)|^a)(exp(i(aπ/2-x))-exp(i(x-aπ/2)))
= ((2π)^a/(2i))(|1/(2π)|^a)(2i)sin(aπ/2-x)
= sin(aπ/2-x)
= sin(x+(1-a/2)π)
となります。

○a=1/2なら
f~(1/2)(x)= sin(x+3π/4)
ですね。a=1だとめでたく
f~(1)(x)= sin(x+π/2) =cos(x)
となります。

●同じ調子でa<0についても、つまり非整数階積分も考えられそうです。

お礼

お礼が遅れてすみません。
たいへん詳しい回答ありがとうございました。

＞ n階微分とは、δ関数のn階微分との畳み込み積を作ること
これは知りませんでした。これとフーリエ変換を組み合わせて拡張していくんですね。

f~(0)(x)=-sin(x)、f~(2)(x)=sin(x)になってしまうのが？..なので
細かく検討してみたいと思います。ウーム。