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微分の階数
spinflipの回答
- spinflip
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数学的な厳密さはご容赦いただくとして(私は物理が専門なので)、 大昔に同じことで大分悩んだことがあります。そのとき思ったのは、 関数をベクトル空間の要素だと思えば、微分演算子は行列で 表されるから、対角化すれば、非整数への拡張が出来るのでは ないかということです。 まず、行列のべきは、対角化してしまえば、非整数に拡張する のは容易です。対角成分のべきを取ればいいだけですから。 よって、微分したい関数をベクトル空間内の要素だと思って、 適当な基底ベクトル(これも関数)で展開して成分表示します。 そうすると、微分後の関数の成分表示できますから、 両者を結びつける行列が存在します。これを、微分演算子 を表す行列と思うことにします。 すると、この行列を対角化するような基底ベクトルを選んで やれば、微分の非整数拡張ができるのではないでしょうか。 さらに、フーリエ変換の非整数回の演算だとかも同じ原理 でできますよね。 問題は、微分演算子に対応した行列を確実に対角化できる かどうかだと思います。 例：べき関数(1,x,x^2...)で展開した場合は、 f(x)=(a,b,c,0,..)とすると、ホントのf(x)は、f=a+bx+cx^2... ですから、微分すれば、 f'(x)=(b,2c,0,...) となります。よって、行列は、 ｜０１０．．．．｜ ｜００２０．．．｜ ｜０００３０．．｜ ｜：：：：：：：｜ となります。これは対称でないので、対角化が保証されません。 べきの計算は簡単ですが、非整数べきへの拡張ができませんね。 他の基底(sinとかexpとか)ではどうでしょうか。
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