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集合｛１，２｝上の半順序関係は何個存在するか？
oodaikoの回答
>反射、反対称、推移、対称 が満たされていても半順序関係といえるのですね? >先の3つだけ満たされている場合が半順序関係ではないのですね? 対称とはおそらく (１,１)と(２,２)のことを言っておられるのだと思いますが、これは順序関係の公理でいうと反射律が成り立つということを言っているに過ぎません。 とにかく、順序関係は反射・反対称・推移の３つの公理を満たすもの、と定義されているのですから順序の３公理を満たしさえすれば対称的であろうがなかろうがそれは半順序集合です。 おそらく「反対称」という言葉にひきづられて対称的な組があると反対称律と矛盾するような気がするのでしょうが、そんなことはありません。 すべての(「すべての」ということが重要です)要素間に(自分自身も含めて)対称的かつ反対称律を満たすような関係がある場合は、反対称律よりその集合のすべての要素は等しい、いいかえれば１点集合{1}と言うことになります。 もちろん{1}には{(1,1)}という(ただひとつの)半順序関係が成り立ちます。これは「すべての」関係が対称的であるような唯一の半順序集合です。 ｛（１，１）,（２，２）｝の場合は１と２の間に関係は定義されませんから、「すべての」要素間に対称的な関係があるわけではないですよね。 というわけでこの問題については対称的等は気にする必要はありません。
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お礼
そうなんですか,なんかややこしいので困ってました。どうもありがとうございました。