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フーリエ級数の収束条件とは？
stomachmanの回答
ご質問の目的が、反転可能条件の証明の理解にあるのか、それとも応用にあるのか、がどうもはっきりしませんでした。コメントを見る限りどうやら応用の方らしい、とあたりをつけたのですが… ごく普通の応用では区分的C1級で十分だろうから、緩い条件を追求している易しい本、ってことになるとなかなか見つからないんじゃないでしょうか。関数解析の基礎が一通り要求されますしね。 ご質問では、xでf(x)が不連続のとき、(f(x+0)+f(x-0))/2に収束するのを「元に戻った」うちに含めていらっしゃるように読めて、するとa.e.の意味で反転可能ならそれで構わないと仰っているようにも受け取れます。そういう意味で良いのならDiniの条件を持ち出すまでもない。 たとえば「数学ハンドブック」(森北出版）では、 Dirichletの条件： (1) １周期分の区間を有限個の区間に分け、各区間内でf(x)が連続かつ単調であるようにできる。 (2) f(x)の不連続点tに於いては、f(t+0)とf(t-0)が存在する。 を共に満たすとき、フーリエ級数は xでf(x)が連続のとき f(x)に、 xでf(x)が不連続のとき、(f(x+0)+f(x-0))/2に 収束する。 という判別法だけが取り上げられています。これは先刻ご承知の条件だろうと思うのですが、特にへんてこな関数を相手にしない限り、測度零の集合を無視してa.e.の意味での反転可能性を問うのなら、これでたいがい間に合う。（つまり予め、値が飛んでいるところを、両側の極限値で埋めて連続・単調にしておけば良い。） この先を追求するとなると、関数のいろんな分類を細かく調べていく必要があり、どんどん話が難しくなる。一方で、実用性のない数学には興味なし、と仰っているので、バランスを量りかねています。 まずは「数学辞典」（岩波）を当たって、Fourier級数の項で、Jordanの条件、Dirichletの条件、Diniの条件、Lebesgueの条件、Dini-Lipschitzの条件を一通りご覧になっては如何でしょうか。 実用上重要で、しかもここに含まれていないのは、f(x)を超関数として扱う場合だけ(a.e.では話にならない。δ(x)=0 a.e. ですからね。）のように思われます。たとえば関数値が無限大に吹っ飛んでいる特異点を含めてきちんと扱いたければ、（(sin x)^(-2)の例で示したように）その関数を超関数として定義しなおす必要が出てきます。 そして実用的な超関数のフーリエ解析は、「ふるい方式」が最も便利だと考えています。つまり、フーリエ級数或いはフーリエ変換を使って超関数を定義することで、超関数をフーリエ変換したものが普通の関数として扱える、そういう超関数だけに話を限ってしまう。そうしても、大抵の応用には十分です。この方向での易しい本としては、MJライトヒル「フーリエ解析と超関数」（ダイヤモンド社）（絶版）を知っています。
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