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正規行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する?
motsuanの回答
- motsuan
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U・Λは思いっきり間違ってしまいました。 結果としては (0,0,...,0,1,0,...,0)がj番目の要素が1でそれ以外が0、Λのjj要素をΛjj、 とすると U・Λ(0,0,...,0,1,0,...,0)=ΛjjU(0,0,...,0,1,0,...,0) なので最終的にはあっていたということで許してください。 証明に難があるというわけではありません。 A^*A=AA^*という関係については、nuubouさんの定義から 導出すべきもののようで、これを私は逆におもっていただけのようです。 (つまり、正規行列というのは 異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交するような行列 という定義なのではないでしょうか? 異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交する ということは別な言い方で言えば、 行列Aの一つの固有ベクトル|α> に直交する空間{<β|;<β|α> = 0}が その写像Aに対して不変な部分空間でなければならない、 となると思います。「直交する空間」の残りの空間は1次元なので 再びA^*の固有ベクトルとなり同時固有ベクトルであることが必要とされると思います。 そして、「直交する空間」も結局不動点ができるから その中から固有ベクトル得られて... と繰り返して最終的直交する固有ベクトルの系列ができる仕組みをあたえている というような感じなのではないでしょうか?) ということで、ごちゃごちゃややこしくしてしまい申し訳ありません。 (というかあくまでもアドバイスということでご容赦下さい。) あと、縮退ですが、物理用語なのかも知れません。同じ固有値が 1つ以上の固有ベクトルをもつということです。
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