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正規行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する？
motsuanの回答
線型代数の教科書をみると 動機としては、内積が定義されているときに ユニタリー行列で対角化できる行列ってなんだ？ というのが普通のようです。そこで、正規行列としてA^*A=AA^* を出してくる場合もあるし、U^*AUが対角化されていると (U^*AU)^*U^*AU＝U^*AU(U^*AU)^* であることから、A^*A=AA^*を導き出している場合もあるようです。 いずれにせよその後、A^*A=AA^*であれば対角化できることを示すのが 普通のパターンのようです。 正規行列の固有値が直交するのは A|λ>=λ|λ>のときA^*|λ>=λ~|λ> (~は複素共役) であることを使って <β|A|α>=α<β|α>=β<β|α> （<β|A=((A^*)|β>)^*=(β^*|β>)^*) により示すようです。 ここで、A^*|λ>=λ~|λ>は <λ|(A-λI)^*(A-λI)|λ>=<λ|(A^*-λ~I)^*(A^*-λ~I)|λ>=|(A^*-λ~I)|λ>|^2 であるためです． あと、私の「「直交する空間」も結局不動点ができるから．．．」 というのも変ですね。 結局、A^*A=AA^*が必要でそのあと十分であることが示されるようです。 このあたりの流れを私が理解していないため混乱してしまいました。 正規行列というのをはじめて知ったので （物理系であるためエルミートばっかりしか考えたことがなかったので） とても勉強になりました。 とくにA^*とAの固有値が共役の関係にあるというのが A^*とAが可換であることから導かれるというのがとても面白と感じました。 以上、お騒がせしました。
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