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数列
stomachmanの回答
- stomachman
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またまたstomachmanです。 前の回答では実用上問題がある。どういうことかというと、S(α,n)、あるいはR(α,n)を求める場合、αが1に近い値であると、繰り返しが多くなってしまうんです。Rを繰り返し計算していく内にいったん1に近い値が現れると、収束が遅い。 そこで、 S(α,n) = Σ<i=1~n>(ceiling(iα))= n(n+1)/2-R(1-α,n) R(α,n) = Σ<i=1~n>floor(iα)= n(n+1)/2-S(1-α,n) を利用することにしました。これは ceiling(iα)=i-floor(i(1-α)) floor(iα)=i-ceiling(i(1-α)) だから成り立つのです。 すなわち、以下のようにして計算を行います。 S(α,n) = if α=0 又は n≦0 then 0 elseif α< 1/2 then β=1/α-floor(1/α) , m=ceiling(nα)-2 , (m+2)n - floor((m+1)/α) - (m(m+1)/2)floor(1/α) - R(β,m) else n(n+1)/2-R(1-α,n) であり、 R(α,n) = if α=0 又は n≦0 then 0 elseif α < 1/2 then β = ceiling(1/α)-1/α , m=floor(nα)-1 , (m+1)(n+1) - ceiling((m+1)/α) - (m(m+1)/2)ceiling(1/α) + R(β,m) else n(n+1)/2-S(1-α,n) です。 この手を使えば、S,Rの一つ目の引数はαか1-αの小さい方であり、それは必ず1/2より小さい。つまりm=ceiling(nα)-2 もしくはm=floor(nα)-1によって、確実にm≦n/2ですから、最悪でも概ね log(n) (logは2の対数)の繰り返し回数で計算が終わることが保証できます。
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