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あみだくじ
hismixの回答
- hismix
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あみだくじというものは数学で言う代数の置換に相当するもので、 数学的な証明をすることが可能です 準備 まずn本の縦線があると仮定していいでしょう それを左から1,2,3,・・,nと呼ぶことにします ここである番号mとm+1に横線があったとしましょう するとこの横線によって1,2,3,・・,m+1,m,・・,nとなることは容易にわかります このようにある文字とある文字を入れ換えることを置換といい、 (m,m+1)と書きます。 この表記を用いて上の結果を書くと このあみだくじは(m,m+1)の置換操作を行うことと同値になります では横線が上から順にmとm+1,kとk+1の２つにあったときはどうでしょう 同様にこのあみだくじは(m,m+1)(k,k+1)という置換をしていることになります このときのカッコの順番は意味があり、 左から順番に作用していることを意味しています ここまでの準備を踏まえて一般的な場合を証明しましょう 証明 あみだくじの横線が上から順にm1とm1+1,m2とm2+1,・・,mkとmk+1の間にあると しましょう。するとこのあみだくじは置換の積によって次のように表記できます。 (m1,m1+1)(m2,m2+1)・・(mk,mk+1) ここで置換という操作は全単射です 全単射の積も全単射ですからこのあみだくじの置換は全単射であることが わかります。 以上より１つのあたりくじは必ず１つしか当たらないってことがわかります■
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