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最小二乗法？
stomachmanの回答
- stomachman
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あやや。stomachman読み違えたんですね。 y[i] = A (sin(x[i] - C))^2 + B+ε[i] から、 |C| < 1°を求める。なお、|x[i]|＜15° こういう問題でしたか。 非線形最小二乗法でCを追いつめていくのは勿論、真っ当な方法です。つまり、Cをちょっと変えては線形最小二乗法でA,Bを決め、残差二乗和S(C)=Σ(ε[i] ^2)が小さくなるようにCを修正していく。 でも、それじゃ回答として詰まらないので、まっとうでないやり方を考えましょう。 |C| が小さいのが特徴ですね。だから sin(x[i] - C)= sin(x[i]) cosC - cos(x[i]) sinC cosC=1-(C^2)/2+(C^4)/4! -… sinC = C-(C^3)/3! + (C^5)/5! -… を利用する手はどうでしょう。 sin(x[i] - C)≒sin(x[i]) - Ccos(x[i]) としてしまうんです。すると、 y[i] ≒ A (sin(x[i]) - Ccos(x[i]))^2 + B+ε[i] = A ((sin(x[i]))^2 + A(C^2)(cos(x[i]))^2 -2ACsin(x[i])Ccos(x[i])+ B+ε[i] ですから、 a=A, b=A(C^2), c=-2AC, d=B とおけば、線形最小二乗法の問題に帰着します。 a,b,cからAとCを決める訳で、得られるパラメータの個数が１個余計ですけど、そこは適当にごまかすことにしましょう。 もちろん、こうやって求めたCを利用して、さらに非線形最小二乗法で追いつめていくというのもアリです。 > 測定を数回繰り返して C の平均値と信頼限界を求めよう 同じ対象を何度も測定する、という意味でしょうか。だったら測定値を全部ぶち込んで一度に解いた方が良いですよ。ベクトルx[i]の異なる成分に同じ値が何度も現れたって一向に構いません。測定毎にノイズ（yの測定誤差）の標準偏差が異なるのであれば、その逆数を重みにした重み付き最小二乗法を行うのが適切かと思います。 > フィッティングにおける相関係数は，どのようにして求めればよいのでしょうか。 んーと。Cの誤差を評価するのが目的なら、Cを微小に動かした時に残差二乗和がどう変化するか、つまり∂S/∂C を求めて、残差二乗和の極小値から、（たとえばε[i] が正規分布だと仮定した場合の）信頼性限界にぶつかるにはCがどれだけ動けるかを調べればよいのです。 相関係数というのは、この場合モデルA (sin(x[i] - C))^2 + Bとy[i]との相関ですね。普通に考えれば良いと思いますよ。
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