最小二乗法？

質問

i 個の測定点 (x[i],y[i]) を，最小二乗法などを用いて下記の式にフィッティングさせようと考えています。Visual Basic で作成した測定プログラムの中で使用したいのですが，具体的にどのようなアルゴリズムでフィッティングを行えばいいのか分かりません。

Y = A * sin(X - C)^2 + B

実測する x[i] の範囲は狭く，例えば -15°～ +15°まで 0.2°毎の計 151 プロット，といった感じです。そして定数 A，B，C の内，最も高い精度で求めたい定数は C です。測定の段階で x の範囲を狭めているのは，正確な C （通常 1°未満）を求めるためです。

この測定は x[i] にはほとんど誤差が含まれませんが y[i] には誤差があります。y[i] の含まれている誤差は試料によってまちまちなので，一概には言えません。目視ではほとんど誤差が分からない綺麗なカーブの場合，逆に目視で辛うじて下に凸の曲線が分かる程度の場合，どちらもあり得ます。

考え方だけでも構いませんので，どうかご教授下さい。よろしくお願いいたします。

回答No.11

stomachman · ベストアンサー

No.9のコメントについて、概要だけです。

●自由度については、モデルにパラメータが３つあるんですから、m=3が正解でしょう。
なお、重みの式から見ると、ワンセットの計測においては、どのサンプルのノイズも標準偏差が同じであると仮定して良いようですね。

●Cが含む誤差の評価方法について。
モデル方程式を、得られたA,B,Cの周りで線形近似したものを考えます。j回目の計測セットでサンプル点k (k=1,2,....,151; x=0.2(k-1)-15)で得た測定値と、モデルとの重み付き残差の縦ベクトルをε[j]とします。そして、
∂f/∂A = (sin(0.2(k-1)-15-C))^2
∂f/∂B = 1
∂f/∂C = -2A[j](sin(0.2(k-1)-15-C))(cos(0.2(k-1)-15-C))
(k=1,2,.....,151)
というヤコビアン行列J[j]を作ります。計測のセットjごとにA[j],B[j]の値は異なることにご注意下さい。すると、
ε[j]= w[j]J[j] (ΔA,ΔB,ΔC)'
（ここに'は転置、w[j]はdiag[√W(j),√W(j),.....]という対角行列で、計測のセットjごとに異なる。）
と書けます。
　さらに、j=1,2,...,N についてε[j]を縦につないだベクトルをεとし、同じくJ[j]を縦につないだ行列をJとし、wはw[j]を右下に繋いだ対角行列diag[√W(1),√W(1),....., √W(2),√W(2),....., ...... ,√W(N),√W(N),.....]　（全部で151N個の対角要素が並びます。）とすれば、j回の計測を全部まとめて
ε= wJ (ΔA,ΔB,ΔC)'
と表現できるでしょう。そしてεの要素はどれも同じ正規分布に従うと仮定できます。（このために重みwを掛けたんです。）
　この線形問題において、εからΔCへの「誤差の伝播」を考えれば良い。これは教科書に書いてあると思いますよ。ΔCが正規分布に従うと仮定して、（平均は0の筈ですから）その標準偏差を求める問題です。
　ΔCの分布に対してどんな危険率（つまり信頼性限界）を設定するかは結果の利用目的によりますが、たとえばC±2(ΔCの標準偏差)、という風に表すことが出来ます。

お礼

お礼が遅くなり，大変申し訳ございませんでした。
自分でも本を読みつつ，stomachman さんのご回答について少しずつ理解を進めておりました。
私の中で，まだ完全に問題を解決したわけではありませんが，長い間スレッドを開けておくのも失礼かと思い，とりあえずこのスレッドは一旦締めさせて頂きます。もう少し勉強をすすめ，分からない部分がまとまりましたら，またお伺いすることがあるかもしれませんが，その時もまたどうかよろしくお願いいたします。