三次方程式について。

質問

x^3=36　という方程式があります。どのとうに解いたらいいかわかりません。
どうぞ、教えて下さい。

回答No.7

brogie · ベストアンサー

siegmundさんにご出場頂いて、この欄も解決しました。

　間違いご指摘頂き有難う御座いました。全く気がつきませんでした。思い込みとは恐ろしいものです。以後気をつけるようにします。

質問者のvikkyiさん、御免なさい！
しかし、皆さんのご回答でご理解できましたか？
解らない所があいましたら補足して下さい。

では。

回答No.8

siegmund

siegmund です．
No.7 の回答，ちょっとミスタイプしちゃいました．

(1)　　y^3 = 1　　⇔　　y^3 - 1 = 0　　⇔　　(y-1)(y^2+y-1) = 0
の最後の式は
(y-1)(y^2+y+1) = 0
です．
後の方には影響はありません．
お詫びして訂正します．

回答No.6

siegmund

brogie さんの回答はスマートですが，ちょっと手がすべってしまわれたようです．
36 の３乗根ですから，６ではありませんね．
kony0 さんの表現のように 36^{1/3} と書くより仕方がないでしょう．
近似値は kony0 さんの書かれているとおり．

x^3=36 で，x = 36^{1/3} y と置き換えれば，元の方程式は
(1)　　y^3 = 1　　⇔　　y^3 - 1 = 0　　⇔　　(y-1)(y^2+y-1) = 0
になりますから，結局１の３乗根の問題に帰着され，
解は
(2)　　y = 1，-1/2±i√3/2
です．
この複素解を通常ωと書いていて，これが kony0 さんの表現です．
複素解のうちどちらをωと書いてもＯＫで，
もう一方の複素解はω^2 になります．
brogie さんの表現なら，ωとω^2 は
cosθ + i sinθ の θ=2π/3，4π/3 になっています．

回答No.5

brogie

この問題は関数論のところで解きます。
ド・モアブルの定理
(cosθ+isinθ)^n＝(cosnθ+isinnθ)
オイラーの公式
(re^iθ)^n＝r^n*e^(inθ)
を用いて解きます。

答えは、
x1＝６
x2＝６(-1/2+i√3/2)
x3＝６(-1/2-i√3/2)
となります。

検算して見て下さい。
x1^3＝36
x2^3＝36
x3^3＝36
となります。

回答No.4

koura

虚数の解がもちろんありますよね。

複素関数論的に結構やっかいですよね。

途中、複素数におきかえないと解がえられない。

回答No.3

kony0

すいません、#2の訂正を・・・

（一般にはt-f'(t)/f(t)を計算する）というところ。
t-f(t)/f'(t)ですね。

ごめんなさいぃ～

回答No.2

kony0

このxは「36の3乗根」と呼ばれるものです。
ざっというと、3^3=27,4^3=64なので、「3とちょっと。」であると予想できます。

0. 高校生の、ペーパーでの試験の場合
36^(1/3)、36^(1/3)*ω、36^(1/3)*ω^2。（ωは1の３乗根）と答えればいいでしょうか？

1. Excel、関数電卓、プログラミングなどが利用できる場合
36^(1/3)を計算してみてください。3.3019・・・と即座に出てきます。

2. 普通の電卓しかない場合
ニュートン（・ラフソン）法による方程式の解法を用いるのがよさげです。
http://arch.arch.kumamoto-u.ac.jp/hagane/yamanari/joho2/newton.html
f(x)=x^3-36として、f(x)=0の解を求める。
Step1. 解に近い適当な数を考える。(ここではt=3としましょう）
Step2. いまあるtの値に対して、2t/3 + 12/t^2 を計算する。（一般にはt-f'(t)/f(t)を計算する）
Step3. tとStep2.の計算値を比較して、差が十分小さければその値が答えなので終わり。そうでなければStep2.の計算値をtとしてStep2.に戻る。

この問題では初期値をt=3とするとStep.2を４回ほど繰り返せば８桁程度の精度、６回で14桁の精度で答えが得られます。

ただし、メモリの使い方を駆使するか「紙に手書きメモリ(^^;)」を使うなど、けっこう骨は折れますが。

参考URL：

http://arch.arch.kumamoto-u.ac.jp/hagane/yamanari/joho2/newton.html

回答No.1

koura

ｘ＾３－３６＝０
として
ｑ＝－３６としてカルダノの３次方程式の解の公式でもとめてはいかがでしょうか。