- ベストアンサー
もっとシンプルに弦の長さを求めたい
円x^2+ｙ^2-x-3y-2＝0と直線y＝mxの交点の距離が4のときのmの値は？ 二つの図形の交点を求め、二つの座標間の距離が4であるから三平方の定理を用いてmの式をつくり、答えを求めたのですが、途中の式がとても複雑で、もっとシンプルにとく方法がありましたら教えてください。高校生に説明していて、計算が複雑で相手ががちょっと首をひねってましたから。
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (3)
- tanakarakusamoti
- ベストアンサー率20% (13/62)
補助線を活用しましょう。 まず、円の中心から直線y=mxに垂線をおろします。 すると、その垂線の足はちょうど弦を二等分する点になりますよね。 次に円の中心と、直線と円の交点（２点ありますね）を結ぶ線分をひきます。すると、円の中に対称的な三角形２個ができましたね。（図を描きながら考えて下さい。） ここから計算に移ります。 垂線の足と直線と円の交点までの距離は２（弦が二等分されていますから） 円の中心と 直線と円の交点 との間の距離は与えられた円の式から求められて、その値は３√２/２ となりますね。 これらより、三平方の定理から最初におろした垂線の長さが１/√２と求まります。 後は、円の中心と直線y=mx に所謂「点と直線の距離」のアレを用いれば求められます。↓ |m*(1/2)-(3/2)|/√(m^2+1) = 1/√2
お礼
ありがとうございました。分かりました。
- postro
- ベストアンサー率43% (156/357)
円の中心の座標と半径を求めます。 (x-1/2)^2+(y-3/2)^2=9/2 二つの交点の距離＝４ より、9/2=2^2+(円の中心と直線の距離)^2 円の中心と直線の距離=√(1/2) 円の中心と直線 -mx+y=0 の距離の公式を使って |-m/2 +3/2|/√(m^2+1)=√(1/2) これを解けばよい。 m=1,-7
お礼
ありがとうございました。分かりました。
- tarame
- ベストアンサー率33% (67/198)
円と直線の交点をＡ,Ｂとし、線分ＡＢの中点をＭとする。 円の中心をＣとすると、△ＡＣＭは直角三角形になる。 円の中心Ｃから直線までの距離をｄとする。 ------------------------------- ｄ^2＋ＡＭ＝ｒ^2（ｒは円の半径） ------------------------------- を使えば、計算が簡単になります。
お礼
ありがとうございました。分かりました。
関連するQ&A
- ２直線の交点の軌跡
２直線の交点の軌跡 ｍが実数全体を動くとき、次の２直線の交点Ｐはどんな図形を描くか。 mx-y=0・・・(1)、x+my-m-2=0・・・(2) 指針、(1)、(2)を連立して解くと x=m+2/m^2+1,y=m(m+2)/m^2+1 この２式からｍを消去してｘ、ｙの関係式を求めようとするのは計算が大変。 そこで、交点Ｐの座標を(x,y)とすると(x,y)は(1)、(2)を同時に満たすから、(1)、(2)はｍをつなぎ文字とみた軌跡の条件式である よって、(1)、(2)から直接ｍを消去する。なお、(1)、(2)が表さない、直線があるから、求めた図形から、除外する点がでてくることに 注意する。 教えてほしいところ 解答では、(1)の式を変形して(2)に代入していたんですが、(1)を満たすような(x,y)と(2)を満たすような(x,y)は異なりますよね（必要十分でない）？？ ですから、代入して(1)のx,yと(2)のx,yをごちゃごちゃにするのは駄目なのでは？？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 図形と式の問題です。
図形と式の問題です。 3点o(0,0),A(4,0),B(2,2)を頂点とする三角形OABの面積を、直線y=mx+m+1が2等分するとき、定数mの値を求めよ。 という問題です。答えはm=(3-2√5)/11なのですが、解いてみても答えにたどり着きません。解き方が間違っているのか、計算ミスなのか、何かご指摘いただけたらありがたいです。 y=mx+m+1より、m(x+1)-y+1=0 よって直線はmの値に関わらず点(-1,1)を通る。 したがって直線はOB,ABを通るのでそれぞれの交点をP,Qとする。 △OAB=4より、△BPQ=2 直線とOBとの交点の座標Pは、計算して、(-(m+1)/(m-1),-(m+1)/(m-1)) ABとの交点の座標Qは、計算して、((3-m)/(m+1),(5m+1)/(m+1)) よって、BP,BQの長さは、それぞれ計算すると√2(3m-1)/(m-1),√2(3m-1)/(m+1) したがって、△BPQ=1/2×√2(3m-1)/(m-1)×√2(3m-1)/(m+1)=2 7m^2-6m+3=0 となってしまって、解がないことになってしまいます。 どうしたらよいのか、教えて頂けないでしょうか。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 面倒ですが助けてください。
ｍを実数とする。円（x－1）＾２＋y＾２＝4 と 直線ｙ＝ｍx の2つの交点をP,Qとする。 (1)P,Qの座標をｍを使って表せ。（P<Qとする） (2)線分PQの中点Mの座標を（X,Y)としたとき、XとYをｍの式で表せ。 (3)ｍが実数全体を動くとき、Xの値のとりうる範囲を求めよ。 (4)ｍが実数全体を動くとき、Mの軌跡の方程式を求め、図示せよ。 さっぱり分かりません（泣） 図示まで詳しい回答をお願いします<m(__)m>
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学II ２直線の垂直条件 平面上の点の座標
３点A(1,3)、B(3,2)、C(5,6)を頂点とする三角形が直角三角形であることを示しなさい。 三平方の定理から AB=√5 BC=√20 CA=√25 AB^2+BC^2=CA^2 でそれぞれAB,BC,CAの距離を求めていますが ABはx(3-1)、y(2-3)で CAはx(1-5)、y(3-6)となってますが 座標でも、数直線上と同じで大きい方から小さい方を引くのでしょうか?AB,BCならCAだと思ってしまうのですが何か決まりはありますか? また、２直線の垂直条件の説明文で l:y=mx l':y=m'xとあるのですが比ですか? x:y=2:1などはよくみますがl:y=mx l':y=m'xはどういう意味でしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- グラフの問題についてですが
y=x^2 と y=x+6 の交点をA,C y=x^2 と y=x の交点をBと置いたとき A(-2,4) , B(1,1) , C(3,9) となるグラフで 点Aを通り、△ABCの面積を二等分する直線の式がわかりません。 三平方の定理を使わない解き方でお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 教科書の説明＞＿＜ （軌跡と双曲線＞＿＜！！）
原点Ｏを通る傾きｍの直線が、２直線ｘ＋ｙ＝２、ｘ－ｙ＝２と交わる点をＰ．Ｑとし、線分ＰＱの中点をＲとする。ｍが変わるとき、点Ｒの軌跡を求めよ。 ＜教科書の解答＞ ｘ＋ｙ＝２（１）ｘ－ｙ＝２（２）ｙ＝ｍｘ（３） （１）、（３）の交点Ｐのｘ座標は２/（ｍ＋１） （２）、（３）の交点Ｑのｘ座標は２/(１－ｍ） である。ただしｍ≠±１として。 Ｒは線分ＰＱの中点であるから、Ｒ（Ｘ，Ｙ）とすると Ｘ＝1/2（２/(m+1) ＋２/(1-m) ∴Ｘ＝２/(1-m＾2) （４） またＲは直線（３）上にあるので Ｙ＝ｍＸ（５） （４）（５）からｍを消去する。 まず（４）からＸ≠０となるので、 （５）からｍ＝Ｙ/Ｘ これを（１－ｍ＾2)Ｘ＝２に代入して （１－Ｙ＾２/Ｘ＾２）Ｘ＝２ ∴Ｘ＾２－Ｙ＾２＝２Ｘ（Ｘ≠０） （６） よって、中点の軌跡は双曲線 （x－１）＾２－y＾２＝１（ｘ≠０） ＜質問です＞＿＜＞ 最後の部分で、Ｘ＾２－Ｙ＾２＝２Ｘ（Ｘ≠０） （６）となったまでは解ったのですけど、 そのあと、どうやったら小文字のｘの式 （ｘ－１）＾２－ｙ＾２＝１（ｘ≠０）の式が 得られるのでしょうか？？？どこかに代入をしてるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の解説お願いします！
この問題の解説をお願いします！ 直線lの式はy＝2x+3、直線ｍの式はy＝-1/2x+8です。直線lとm、x軸の交点をそれぞれA、Bとします。また直線l上に点Cをとり、x軸上に辺をもつ正方形CDEFをつくります。ただし、点Cのy座標は正の数とします。 ☆正方形CDEFの対角線の交点が通る図形の式を求めなさい。またxの変域も求めなさい。 これの問題文の意味が理解できません！ やり方も教えてください！
- 締切済み
- 数学・算数
- ２直線の交点の軌跡は、判別式を用いて求められますか
mが実数全体を動くとき、次の２直線の交点Pはどんな図形を動くか。 (1) mx - y = 0 (2) x + my - m - 2 = 0 という問題について、解説ではmを消去する方針で、(1)からm = y / x を導き、(2)に代入しています。 ですが、たとえばyを消去する方針で、(1)からy = mxを導いて(2)に代入して x + m^2x - m - 2 = 0 とし、これをmについてまとめて、xm^2 - m + x -2 = 0とした場合、 この式は(1)と(2)を同時に満たす式となり、判別式D = 0となるとき１つの交点をもつ、というように解くことはできないのでしょうか？ ちなみに、これを解くとD=0より4x^2 - 8x - 1 = 0となり、解答（x-1)^2 + (y-1/2)^2 = 5/4とは全く異なってしまうので、間違った解き方だということはわかるのですが、なぜこの解き方では解答に辿りつけないのかがわかりません。 判別式をここで持ち出すこと自体、おかしいのでしょうか？ 変な質問ですが、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 【高校】平面図形の質問です。
平面図形についての質問です。 (1)直線mx－(2m－1)y＋m－1=0が円x^2＋y^2＋2x－4y＋4=0に接するように定数mの値を求めなさい。 (2)円x^2＋y^2=4と直線mx＋y=4が異なる2点で交わり、弦ABの長さが2√2であるとき、mの値を求めよ (1)は判別式を使ってみたのですが解けず (2)は図を書いてもピンときませんでした。 よろしくお願いします m(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。分かりました。頼まれて高校生に教えていたのですが、なにぶん遠い昔のことで答えは出たのですが、ダサイ方法で自分でも、もやもやしてました。