4C2 6C４ てどんな意味ですか？

質問

確率の分野なんでしょうか？

4Ｃ2×6Ｃ4＝４×３/２×６×５/２＝６×１５＝９０

て書いてあるんです。

Ｃの両脇の数字は小さいです。このＣと両脇の２つの数字の示す意味がどう考えてもわかりません。教科書を見ても数学アレルギーの私には理解できません。

どなたか分かりやすく教えてください。よろしくおねがいします。

回答No.3

beta16

こんにちは。
odaqqqさんは、高校生でしょうか？
私も高校生のころは、この順列とか組合せとかいうものがさっぱりわからず、
卒業してからしばらくたった後、競馬をはじめてやっと理解することが出来ました。

まず、はじめにodaqqqさんのおっしゃる　Ｃ　というのもは、「組合せ」とよばれるもので、英語ではNo1のIslayさんのおっしゃるように、”Combination”です。
この「組合せ」とは、５人の人から３人を選び出す組合せは何通りありますか？　という問題で使えます。
この場合に『5Ｃ3』と表すわけです。
そこで、それぞれに、a,b,c,d,eと名前を付けるとします。

過程１　まず1人選びます。
　　　　その選び方はa,b,c,d,eの5通り（例えばaを選ぶ）
過程２　次に2人目を選びます
　　　　１で選んだ場合に対してそれぞれ4通り
　　　　（ここでは１でaを選んでいるので残りのb,c,d,eの4通りの中から。
　　　　　例えばdを選ぶ）
過程３　最後の3人目を選びます
　　　　１かつ２で選んだ場合に対してそれぞれ3通り
　　　　（ここでは１，２でa,dを選んでいるので残りのb,c,eの3通りに中から。
　　　　　例えばeを選ぶ）
したがって、　５*４*３＝６０通り

しかしここで求めたいのは『組合せ』で「組合せ」の場合は並び順は無視する。
つまり、上に例でいうと(a,d,e)(a,e,d)(e,a,d)(e,d,a)(e,a,d)(e,d,a)は同一のものです。・・・・（１）
　　(a,d,e)(e,d,a)などの違いは、
　　前者は過程１でaを、過程２でdを、過程３でeを選んでいるのに対し
　　後者は過程１でeを、過程２でdを、過程３でaを選んでいますので、
　　過程１，２，３では、別のものとして数え上げてしまっています。
しかし、「組合せ」は順序は無視して考えるので６通りそれぞれは同じものになります。
そこで、同じ組合せになるものの数の数え方は、上の例では５人から３人を選ぶことになっているので選んだ３人の並べ方と同じになります。
したがって、

過程４　　最初の１人目を選ぶのは３通り
過程５　　次の２人目を選ぶのはそれぞれに２通り
過程６　　最後の３人目を選ぶのはやはりそれぞれに対し１通り
したがって　　３*２*１＝６通り
これは、上で具体的に例を挙げた（１）の数に一致いています。

過程７
それでは、最終的に５人から３人を選び出す「組合せ」を求めると
　　　　（５*４*３）/（３*２*１）＝１０通り
となります。これを『5Ｃ3』とあらわします。

また過程１，２，３で求めた並び順を含んでいるものを「順列」といいます。
つまり５人の中から３人選んで並ばせる順列はなん通りか？といわれたら。
過程１，２，３のように求めればよく、これを5Ｐ3（やはり数字は小さく）あらわします。（5Ｐ3＝５*４*３）
さらに、過程４，５，６で求めたものは３人の中から３人を選び出し並ばせる順列だと言うことに気がつくと思います。
これはもちろん　『3Ｐ3』とあらわし、特にこれを３！（３の階乗）とあらわします。３！＝３*２*１

したがって５人の中から３人を選び出す「組合せ」は

5Ｃ3＝(5Ｐ3) /( 3! )＝（５*４*３）/（３*２*１）＝１０

もっと一般的に考えると、n人の中からr人を選び出す「組合せ」は

　　nＣr＝(nＰr) / r!＝ｎ*（ｎ-1）*（ｎ-2）***｛ｎ-（ｒ-1）｝/ｒ！

という式になります。
ここで、右辺の分子の積の数は、r個になることに注意して下さい。

では、obaqqqさんの質問にある4Ｃ2，6Ｃ4について考えると

4Ｃ2＝（４*３）/２！＝４*３/（２*１）＝４*３/２＝６
6Ｃ4＝（６*５*４*３）/４！＝（６*５*４*３）/（４*３*２*１）
　　＝６*５*/２＝１５
になります。

どうでしょうか？もしわかりにくければ他の例をあげてみます。