円筒の電荷密度

質問

半径5cmおよび10cmをそれぞれ内径・外径とする同心円筒があり、円筒間の電位差は100Vです。
そのときのそれぞれの導体表面の電荷密度の求め方がわかりません。
まず最初に何をすればいいのかということもまったくわからないのでヒントだけでもよろしくお願いします。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

図がないとわかりにくいので説明対応できるか不明ですが。

円筒の長さＬの部分を考えます。
∫ＥdS=Ｑ/ε　から円筒の長さ方向には対称ですから
dS=Lds, Ｑ=Lq。　dsは円筒の周長に沿う微少長さで、qは単位長あたりの電荷密度(C/m)になります。

すると、円周方向の対称性からＥは円筒面上の何処でも一定ですから２πｒＥ＝ｑ/ε．
内径をr1、外径をr2としてＥを半径方向に積分すれば電位差Ｖが求まります。
Ｖ＝∫(r1～r2)(Ｅdr)　これからＶはr1,r2,q,εからなる式になります。

そうすれば、未知数はｑだけなので求まります。
導体表面の電荷密度σは
σ＝ｑ／（２πｒ）[C/m2]
となります。すなわち内径と外径では電荷密度は異なります。

なお、特に指示がなければεは真空中の誘電率でよいはずです。

補足

ありがとうございます。
内径の電荷密度を計算してみると
　V=q/(2πε)log(r2/r1)
　q=1.847×10^-8
　σ=5.88×10^-8
となったのですが、答えは2.55×10^-8と書いてありました。
どこが間違っているのでしょうか？

回答No.3

endlessriver

私の計算によるとσ＝２．５５×１０＾－８[C/m2]となりました。
内径の半径０．０５ｍの表面のようです。

V=q/(2πε)log(r2/r1)　はあっています。もう一度、検討して下さい。

なおε＝８．８５４×１０＾－１２[A^2・s^2/N・m^2]で計算しました。

お礼

関数電卓で「log2」と打って計算していたのですが、底が10になっていたようです。
底をeにして計算したら解くことが出来ました。
詳しく説明していただきありがとうございました。

回答No.1

endlessriver

比較的簡単な問題なので電磁気学の教科書に載っていると思います。

ただし、静電容量の問題となっていれば、Ｑ＝ＣＶで求まります。

それでなくともガウスの定理から∫Ｅds=q/ε　となり、積分は単位長あたりの円周上の積分で、q は単位長あたりの電荷です。
円周上（半径をｒとすれば）で対称性からＥは一定となり積分の外に出せ、∫dsは２πｒとなります。
するとＥが求まり、Ｅを内径から外径まで積分すれば電圧になります。

補足

いまいちよくわからないのですが、その考え方からどうやって単位面積あたりの電荷を求めればいいのでしょうか。
それと、この問題でわかっていることは質問のところに書いたことだけです。