サイコロとコインの分布

質問

次の確率の問題がわかりません
（２を特にお願いします）

表が出る確率をｐのコインとサイコロを用意する。
コインとサイコロを交互に投げる。この試行を
サイコロの３の目が出るまで続けるとする。

以下の問題に答えよ

１．コインの投げる回数をＹとするとき、
Ｙの確率分布と平均を求めよ

２．コインのおもてが出た回数をＸとするとき、
Ｘ＝１、Ｘ＝２となる確率をそれぞれ求めよ

１については幾何分布だから
分布は1-(1-p)^(Y)
平均は(1-p)/p　ですよね？

２については、サイコロの３が出ない場合が続いたら
その確率はどうなるのかがわかりません

回答No.4

age_momo · ベストアンサー

P(Y=n)=1/6*(5/6)^(n-1)
期待値は1/(1/6)=6です。

>分布は1-(1-p)^(Y)
この式は累積確率分布ですね。

>平均は(1-p)/p　ですよね？
この問題の場合、明らかにYは正の整数(0がない)なので平均は(1-p)/pではなく、1/pとなります。

２．P(X=0)は#3さんの式でいいと思います。別の考え方をすればn回振って終わり全て裏なのは
P(Y=n,X=0)=(1-p)^n*(1/6)*(5/6)^(n-1)
初項a=1/6*(1-p) 公比r=(5/6)*(1-p)の無限級数ですね。
P(X=1)に関しては
1)初回に表が出て終わり　1/6*p
2)初回、表、終わらずに後は裏　p*5/6*P(X=0)
3)初回、裏、終わらずに後は一度だけ表　(1-p)*5/6*P(X=1)
を全て足す必要があり
P(X=1)=1/6p+p*5/6*P(X=0)+(1-p)*5/6*P(X=1)
に上で求めたP(X=0)を代入して解けばいいと思います。
X=2についても同様に
1)2回連続表が出て終わり　p^2*5/6*1/6
2)2回連続で表が出て以降裏ばかり P^2*(5/6)^2*P(X=0)
3)1回表、1回裏が出て以降表1回 2P(1-p)*(5/6)^2*P(X=1)
4)2回連続裏、以降表が2回 (1-p)^2*(5/6)^2*P(X=2)
の和がP(X=2)に等しくなりますね。

お礼

私の勘違いの所まで指摘、また親切な回答ありがとうございました

回答No.3

bender

> １．コインの投げる回数をＹとするとき、Ｙの確率分布と平均を求めよ

平均というのはコインを投げる回数の期待値のことだと思うのですが、期待値の求め方としては、この実験を以下のように考えるとよいかもしれないです：
1. コインを一回投げる
2. 次に、サイコロをふって
　2.1. 1/6の確率で終わり
　2.2. 5/6の確率で１へもどる

2.1 のときは、その後コインを投げる回数の期待値は当然０回。
2.2 のときは 1 の状態に戻るので、その後コインを投げる回数の期待値は始めの期待値と一緒。そこでその期待値を E とすると、
E = 1 + 1/6 * 0 + 5/6 * E

これを解くと、期待値 E がわかると思います。

> ２．コインのおもてが出た回数をＸとするとき、Ｘ＝１、Ｘ＝２となる確率をそれぞれ求めよ

X=0, 1, ... の確率をそれぞれ P(X=0), P(X=1), ... と書くとして、問題１のように再帰的に考えると、P(X=1) = p * P(X=0) + (1-p) * P(X=1) といえると思います。また、P(X=0) = p * 0 + (1-p) * (1/6 + 5/6 * P(X=0)) といえるので、これらを解くことで P(X=1) が分かるように思います。

お礼

一つ一つ丁寧に教えてくださり、ありがとうございました
再帰的な方法で解くのですね

回答No.2

sunasearch

>しかし二項分布だとすると試行中の成功回数
は順不同なので、答えとして正しくないのでは？

そうでした。言葉を間違えました。
幾何分布でした。

pの代わりに1/6を使ってください。

お礼

丁寧にご返答ありがとうございました

回答No.1

sunasearch

1.コインの投げる回数というのはつまり、サイコロを振る回数だから、
３の目が出る1/6
３の目が出ない5/6
の二項分布じゃないですかね。

2.無限級数の和を極限を用いて求めると思います。

補足

1についてですが、サイコロとコインの振る回数
はおなじでしたね。
しかし二項分布だとすると試行中の成功回数
は順不同なので、答えとして正しくないのでは？
（最後に３がでるのですから）