数IIのこの問題が分かりません！！

質問

こんにちは。夏休みの宿題の問題の一部なんですが・・・・
「x4-4x3+ax2-12x+bが完全平方式となるように、定数a,bの値を定めよ。」とありまう。「完全平方式」というのもわからないし、チャートを見ても似たようなものがなく困ってます。よかったら教えてください。どうやら比較的簡単な問題らしいんですが、数学が苦手なのでさっぱりです。ちなみに、xの後にくる数字は次数です。お願いします。

回答No.4

mathmilan · ベストアンサー

x^4-4x^3+ax^2-12x+bのx^4の係数が1であるので，
これが，完全平方になるためには次式が成り立つ。

x^4-4x^3+ax^2-12x+b = (x^2+cx+d)^2 …(1)

ゆえに，
(1)右辺 = x^4+2cx^3+(c^2+2d)x^2+2cdx+d^2

したがって，
x^4-4x^3+ax^2-12x+b = x^4+2cx^3+(c^2+2d)x^2+2cdx+d^2 …(2)

(2)はxに関する恒等式であるので，左辺と右辺の係数を比較すれば，
(3)～(6)が成り立つ。
-4 = 2c …(3)
a = c^2+2d …(4)
-12 = 2cd …(5)
b = d^2 …(6)

よって，(3)より，
c=-2

(5)より，
d=3

(6)より，
b=9

(4)より，
a=10

以上より，
a=10,b=9となる。

このとき，確かに，
x^4-4x^3+10x^2-12+9 = (x^2-2x+3)^2
と完全平方となります。

それでは，夏休みの楽しみながら宿題頑張ってください。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。宿題がんばりたいとおもいます。

回答No.5

norokko

NO3のnorokkoです。ちょっと訂正です。

>よって完全平方式はx3-2x2+3だと思われます。

次数を間違えました。
x2-2x+3
が完全平方式です。
すでにNO4の方が答えを書かれていますが、その程度は自分で確認しておいた方がいいと思いますよ。

回答No.3

norokko

完全平方式というのは
F（ｘ）の２乗となるような式のことです。

この場合は
（Ax2＋Bx＋C）2
注意;数字は乗数
となるような式を求めればいいことになります。（A,B,Cは数字が入る、また最初の問題のa,bとは別）
そしてその完全平方式を求めた後に、それを2乗して問題の形にしたら自然と答え(a,b)が求まります。

また、問題からA=1は明らかです。
また-4xの3乗ですのでB=-2だと思われます。（-4=2×A×B)
そして-12xより判断するとおそらくC=3だと思われます。
（-12=2×B×C)
（検証してください）

よって完全平方式はx3-2x2+3だと思われます。

この全体を2乗すると答えが求まります。

お礼

とても助かりました。ありがとうございます。

回答No.2

mikuta3159

完全平方式は　(x+1)2 ←この2は二乗の意味　のような式
二乗でまとめられる式です。
なので解き方は
　　　x4に係数がないことから答えの式は(x2+cx+d)2 ←2はさっきと同じように二乗の意味です
　　　これを計算するとx4+2cx3+(c2+2d)x2+2cdx+d2　となります。この式と問題の式を比べると
　　　4=2c , a=c2+2d , 12=2cd , b=d2 となります。
よって c=2 , d=-3 となり a=-2 , b=9 となります。

お礼

分かりやすい説明ありがとうございます。

回答No.1

postro

「完全平方式」って、たぶん （整式）^2 ってことだと思います。
もっとも、それがわからなければこの問題は絶対できないですよね。
x^4 があることに注目すると、完全平方式として
(x^2+mx+n)^2 の形になるとして、これを展開して、x4-4x3+ax2-12x+b　と係数を
比較すれば、m,n,a,b が具体的に特定されるでしょう。

お礼

ありがとうございました。これからやってみたいと思います。