10進数 → 2進数

質問

小数点を含んだ実数の、10進数から2進数への変換のやり方がよくわかりません。できるときとできないときがあります。たとえば、

(0.1)_10 = (0.0001100110011・・・)_2

※(A)_xとは、数値Aのx進数表現というイミです。以下もこの表現を使います。

となるらしいですが、どうやればいいのでしょうか？わかりません。

また、ついでに聞いておきたいことがもう一つあります。小数点を含まない数値の
変換も教えていただきたいです。

たとえば今までぼくは、(101)_10を2進数に変換するのに、

(101)_10 = (100 + 1)_10 = ( 2^2・25 + 1 )_10

= ( 2^2・( 2^3・(2 + 1) + 1 ) +1 )_10 = (2^6 + 2^5 + 2^2 + 2^0 )_10

= (1100101)_2

などという、めんどくさいことをやっていたのですが、もっとスマートなやりかたはないでしょうか？
コンピュータもいちいちこんなやり方でやっていたら、計算量多すぎてやってられないような気がするので、きっとあると思うんですけど…簡潔なアルゴリズム…

回答No.3

wogota

題にあるように、101_10について考えてみましょう。
101=1×10^2+0×10^1+1×10^0
(^は、べき乗とします。つまり、10^2=10×10=100)
というように、数字を分解できます。
また、これらの数字を1つずつ求めるとした場合、
101÷10=10余り1
10÷10=1余り0
1÷10=0余り1
というように、考えることが出来ます。（この方法は、後述の考え方を
逆さにしているだけだったりします。）

ということで、割る数を2にすると、余りの数字から2進数に出来ます。
101÷2=50余り1
50÷2=25余り0
25÷2=12余り1
12÷2=6余り0
6÷2=3余り0
3÷2=1余り1
1÷2=0余り1
から、101_10=1100101_2となります。
小数点では、割る数ではなく掛ける形で表示できます。
0.1_10を例にしましょう。
0.1×2=0.2（1以下ということで0）
0.2×2=0.4（1以下ということで0）
0.4×2=0.8（1以下ということで0）
0.8×2=1.6（1以上なので、1。1.6-1=0.6）
0.6×2=1.2（1以上なので、1。1.2-1=0.2）
と言う風に、0を1つおいて"0011"の列が循環する表示になります。
よって、0.1_10=0.0001100110011・・・_2となります。

かなり、直感を重視した内容になっていますので、理論的な説明が必要ですね。

お礼

回答ありがとうございました。

整数値については、＃5の方の説明で理解できたのですが、
小数点を含んだ数値のやり方が理解できません。
できれば説明お願いします。