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重積分
曲面S:x=(2-v)cosu y=(2-v)sinu z=v {0≦u≦2π,0≦v≦2}及び平面z=0で囲まれた立体をVとする時∫v(2+y)dxdydzを求めよ という問題でまず何をしたらいいのかがわかりません。このような問題の場合どこから求めていけばいいのでしょうか？いろいろな解き方があるみたいなのですが、ひとつも思いつきません。どなたかわかるかた教えていただけないでしょうか。お願いします
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xyz空間の原点を中心とし、半径が１の球面をSとします。Sの単位法ベクトルNの方向は、いつもSの内部から外部に向かう―(1)ように選んでおきます。この時、ベクトル場は V(X)＝ x+2y 3y+4z 5z+6x のS上の面積分 ∫[S]V・ｄS の値を求めてください。という問題で他の回答者さまに以下のようにご回答いただきましたが、(1)～(3)がわかりません。 質問1(1)はなぜこのベクトルはSの内向きなのでしょうか？ 質問２(2)から(3)の途中計算がわかりません。 質問３また(2)の最後はdudvとなっていますが、dxdydzをdudvに変換したのでしょうか？したならどのように変換したのでしょうか？ 質問4単位法ベクトルN(u,v)の公式は N(u,v)={1/||xu(u,v)×xv(u,v)||}・xu(u,v)×ｘv(u,v)とテキストに書かれていますが、なぜ(2)のような式の形なのでしょうか？何か別の公式があるのでしょうか？ 途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。 空間の場合のガウスの発散定理より ∫[S]VdS=∫[M]divv・dxdydzより div=∂v1/∂x1+∂v2/∂y+∂v3/∂z(発散の定義) =1+3+5 =9 (単位球面のパラメーター) X(u,v)= cosu・cosv cosu・sinv sinu Xu(u,v)= -sinu・cosv -sinu・sinv cosu Xv(u,v)= -cosu・sinv cosu・cosv 0 よって外積Xu×Xv= -cos^2u・cosv cos^2u・sinv -2sinu・cosu このベクトルはSの内向きなので、N(u,v)=-(Xu×Xv)となる。－(1) ∫[S]VｄS＝－9∫[0→2π]∫[0→2π] cosu・cosv cosu・sinv sinu × -cos^2u・cosv cos^2u・sinv -2sinu・cosu dudv―(2) =9∫[0→2π]∫[0→2π]2sin^2u・cosu・dudv―(3) =18∫[0→2π]∫[0→2π]sin^2u・cosu・dudv t=sinuとおくと、dt/du=cosuより、cosudu=dt ∫[0→2π]sin^2u・cosudu =∫[0→1]t^2dt =[t^3/3](0→1) =1/3 ゆえに 18∫[0→2π]1/3dv =∫[0→2π]6dv =[6v](0→2π) =12π(答)
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