余りの求め方が分かりません

質問

３次の整式ｆ(x)を(x^2－x+1)で割った余りは(x-3)、ｆ(-1)=5のとき、ｆ(x)を(x^3＋1)で割った余りを求めたいのですが、

ｆ(x)=(x^2-x+1)g(x)+x-3　←g(x)は１次の整式
ｆ(-1)=3g(-1)-4=5
よって　g(-1)=3
ｆ(x)=a(x^3＋1)+h(x)　←g(x)は２次の整式
　 =a(x+1)(x^2-x+1)+h(x)

となるところまでは解いてみたのですが、これからどうやって答えを導けばよいのか分かりません。
ここからどうすればよいのでしょうか？　
解き方の分かる方、教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.2

houng · ベストアンサー

ｆ(x)が３次の整式と分かっているのなら、a,bを任意の値として
　ｆ(x) = (x^2－x+1)(ax+b)+(x-3)
となります。
これに、x=-1を代入すると、
　ｆ(-1)= (3)×(-a+b)-4 = -3a+3b-4 = 5
となり、　-a+b=3 ; b=a+3 が導き出せます。
ここから、
　ｆ(x) = (x^2－x+1)(ax+a+3)+(x-3)
= a(x^3) + 3(x^2) - 2(x) +a
となり、
　ｆ(x)／(x^3＋1) = a あまり 3(x^2)-2(x) となります。

これでいかがですか？
（あっているかまちがってるか今一自信無しですが、きれいな答えになったので書込みしてみました。）

お礼

回答ありがとうございます。
整式をa,bを使って表すという発想は私の頭の中にはありませんでした。
だから解けなかったのか～（納得）。
助かりました。
本当にありがとうございました。

回答No.1

ringohatimitu

直接次のように計算してみます：
g(x)=ax+b,b=a+3としてf(x)=(ax+b)(x^2-x+1)+x-3=
ax^3+3x^2-2x+aと簡単に表されx^3+1で割るとaがキャンセルされて余りは3x^2-2x。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど・・・この考え方だとズバっと答えがでますね。
助かりました。
本当にありがとうございました。