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行列式による連立方程式の解の求め方
stomachmanの回答
- stomachman
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連立一次方程式は行列を使って解くことが出来ますが、一次でない場合にはそうはいきません。でもご質問の場合、一次式の問題と、多項式の問題に分割して扱うことができます。 [1]扱いやすくするために変数変換 X1=(P2)^(1/2) X2=(P3-P2)^(1/2) X3=(P4-P3)^(1/2) X4=(P5-P4)^(1/2) X5=(P5-P6)^(1/2) X6=(P6)^(1/2) X7=(P8-P5)^(1/2) X8=(P9-P8)^(1/2) X9=(P10-P9)^(1/2) X10=(P10-P11)^(1/2) X11=(P11-P12)^(1/2) X12=(P12)^(1/2) をしましょう。 [2] すると Q1+kA1 X2=Q2+kA2 X1 Q3+kA3 X3=Q4+kA1 X2 Q5+kA4 X4=Q6+kA3 X3 です。ここまでで４つの変数を含む３本の一次式が得られます。X1～X3を消去するのは簡単ですね。つまりX1～X3はX4だけを含む一次式で表すことができます。 X3 = ((Q5+kA4 X4)-Q6)/(kA3) X2 = .... X1 = .... という具合です。一方X1～X4の間には（[1]をみれば分かるように） P5=X1^2＋X2^2＋X3^2＋X4^2 という関係がありますから、この右辺のX1,X2,X3をX4だけの式で置き換えて整理すれば、右辺はX4だけを含む２次式 P5 = U (X4^2)+V X4 + W で表されます。（U,V,Wは定数だけを組み合わせた式です。）これを解くとX4が未知数P5を含んだ式で表されます。解は２つ出ますので、それらをf4,g4とすると、 X4 = f4(P5)および X4=g4(P5) ということになり、これでX1～X4は全部P5を含む式で表されます。 [3]次に Q8+kA5 X4=Q9+kA7 X6 から、X6もX4で表せる。つまり X6=((Q8+kA5 X4)-Q9)/(kA7) です。 以上から、P5さえ決まれば、X1～X4、X6は（２通りに）決まります。 [4]それから Q10+kA9 X8 =Q11+kA8 X7 Q12+kA10 X9=Q13+kA9 X8 Q14=Q15+kA11 X10+kA10 X9 Q16+kA11 X10=Q17+kA12 X11 Q18+kA12 X11=Q19+kA13 X12 ここまでで６つの変数を含む５本の一次式が得られます。だからX8～X12はどれもX7だけを含む一次式で表すことができます。一方、 P5=-(X7^2＋X8^2＋X9^2)+X10^2+X11^2+X12^2 という関係がありますから、右辺のX8～X12をX7だけで表せばX7に関する２次式が得られます。これを解くと、X7が、未知数P5を含んだ式で表されます。解は２つ出ますので、それらをf7,g7とすると、 X7 = f7(P5)および X7=g7(P5) ということになり、これでX7～X12は全部P5を含む式で表されます。言い換えればP5さえ決まれば、X7～X12は（２通りに）決まります。 [5] さて、 P5=X5^2＋X6^2 という関係があります。一方、 X6=((Q8+kA5 X4)-Q9)/(kA7) =((Q8+kA5 f4(P5))-Q9)/(kA7) および ((Q8+kA5 g4(P5))-Q9)/(kA7) です。 X5=±((X6^2-P5)^(1/2)) ですから、P5を決めたとき、X5には4通りの解があります。 [6] 従って Q7+kA8 X7=kA5 X5+kA4 X4 に現れるX7, X5, X4はいずれもP5を決めると2通りまたは4通りの値だけを取ります。すなわち、この式に現れるX7,X5,X4をP5で表すと全部で2×4×2=16通りの式ができますね。どれもP5だけの式（平方根を含む）として表せます。 この１６個の式のうちのどれかひとつで良いから満たすようなP5を求めるわけで、答は沢山（複素数まで考えれば１６通り）出てきます。 P5が決まれば、X1～X12が全部決まり、従ってP2～P12も決まります。
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