円周率

質問

どうして、円周率は無限に続くのでしょうか？
E=Mccのように自然はシンプルな公式になるようです。
直径との対比が円周率ですが、直径を使うから、このような数値（無限の）になってしまうのでしょうか？
もっとちがう（直径ではない）値を使えば、単純な数値になるのでしょうか？
この自然界は単純にできている筈なのに円周率は単純では有りません。
数学ではなく、物理学なのか、哲学なのかはわかりません。

回答No.1

nitscape · ベストアンサー

全てにおいて意味不明な回答になってしまいますが。。。

＞どうして、円周率は無限に続くのでしょうか？
無限に続くと証明された値だからではないでしょうか？

＞E=Mccのように自然はシンプルな公式になるようです。
cは光速という定数を表現する文字ですよね。円周率もπという文字でシンプルに置き換えることができます。πを使った公式　面積＝πrr　というのも非常にシンプルな公式ではないでしょうか？

ただ「自然はシンプルな公式になる」や「この自然界は単純にできている筈」というのが本当の（一般的な）話しなのかどうかは疑問です。

＞もっとちがう（直径ではない）値を使えば、単純な数値になるのでしょうか？
単純な値になってしまったらそれはもう円周率ではないと思います。πとういような記号に置き換えれば単純な文字で表現はできますが。

円周率とは違うかもしれませんが、辺の長さが1の正方形の対角線の長さは√2で、これも無限に続く値だと思いますし、"素数"も無限に存在する数値です。自然対数も無限に続きますし。。。無限に続く数値という点を見れば多くの数があるのではないでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
＞自然はシンプルな公式になる」や「この自然界は単純にできている筈」というのが本当の（一般的な）話しなのかどうかは疑問です。
そうかもしれませんね。

回答No.11

mathematik

円周率を無理数でしか表せない、我々の使っている数字というものの限界だと思います。

べつに、円周率を１とした数直線を考えてもいいんです。でも我々の先輩は数という概念を考えたときまだ円周率…つまり無理数の存在まで考えるほどの頭をもってはいなかった、なので円周率のように無理数となってしまう数が出てくるのだと思います。

お礼

みなさんありがとうございました。

回答No.10

yoikagari

円周率πが無理数であることの証明があるページです。

参考URL：

http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/pi_irrational.pdf

回答No.9

kansai_daisuki

どうも。

　大学入試で過去に２回、πが無理数であることを証明する問題が出題されたようです。そのうちの１つを参考ＵＲＬにリンクいたします。

>＞どうして、円周率は無限に続くのでしょうか？
>ということについてお教え頂いたと思います。

　πが無理数であることの理由については分かりかねますが、証明は以上の通りです。

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/tangoh/oosaka03k4.html

回答No.8

kansai_daisuki

>　円周率が無限に続く証明は大学の数学科の専門課程程度ではないでしょうか。代数学の本やオイラーの公式e^(iπ）＋１＝０について書いてある本や超越数に関して載っている本なら書いてあるとは思いますが、かなり難しいです。

　ですね。確かに高校数学の知識のみで解こうとすれば解けることは解けますが、「大学への数学」に「レベルＦ」というレベルがあれば付けたいぐらいの難問になります。証明文を書くとしたら、Ａ４のノートにならば、３ページ程度にはなるのではないでしょうか？旧帝大合格レベルの高校生でも、まず解けないのでは？

（※解ける高校生がいたらすみません。そんなあなたは、ライプニッツの再来だ！将来、日本の数学界に君臨してください。）

　とにかく、大学生になって専門知識を使って解いた方が、無難です。無意味に無駄なことを考える時間は大学生になれば腐るほどあります。大学生になるまでは、受験勉強を頑張った方が無難です。

お礼

ありがとうございます。
＞どうして、円周率は無限に続くのでしょうか？
ということについてお教え頂いたと思います。
＞この自然界は単純にできている筈なのに円周率は単純では有りません。数学ではなく、物理学なのか、哲学なのかはわかりません。
＃7さんへのお礼分では「人」という単位で、腕と足と言う単位を無理矢理使いましたが、でも、例えがわからないから、ぼやっと、考えた単位を使ってしまいました。こんなもので「円周」が片付くとは思っていません。わからないので、不具合な「例えば」を出してみました。（自分の中で解決しているのなら「質問」もしませんし）
ありがとうございました。

回答No.7

k_train_9999

円周率が無限に続く証明は大学の数学科の専門課程程度ではないでしょうか。代数学の本やオイラーの公式e^(iπ）＋１＝０について書いてある本や超越数に関して載っている本なら書いてあるとは思いますが、かなり難しいです。
　　ちなみにeというのは自然対数で２．７１８２８１８２８４５９０１４・・・・とこれも無限に続く数です。
　ちなみに超越数とは
　数式f(x)=Σa_jx^jとしたとき　係数a_jが全て係数の時ｆ（ｘ）＝０の解にならない数。でその数は無理数です。（だた無理数だから超越数というわけではありません。例えば√２は超越数ではありません。）
　ちなみにπ、eは超越数であることが証明されています。レベル的には大体大学３年生程度です。

http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/pi_irrational.pdf
http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/e_transnum.pdf
http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/pi_transnum.pdf

お礼

ありがとうございます。純粋に数学でお教え頂きまして、ありがとうございます。ダビンチの人が手を広げて、円が書いてある絵がありますね。
対比するものが直径だから、自然数にならない？。
例えば、立ち木が有って、木の大きさを言う場合、人の腕を、木に廻します。片手で廻せれば「１腕」という単位になるかもしれません。大きな木であれば「2腕」という単位かもしれません。それは１人なので「１人腕」かもしれません。この木を切り倒した場合、このサイズは、その人の足の股までの大きさだから「１股」（直径）の木＝一人腕（円周）木かもしれません。
なにか、そういうようなものを感じたのです。

回答No.6

kansai_daisuki

円は正n角形のnをn→∞にして、∞角形と考えると、極限の円周が2πrです。そして、円弧はnが小さいときには弦と同様ですが、ｎが大きくなると弧に近似できます。また、弦の長さは、その弦と円の中心の点によって作られる中心角によって決まります。そして、円周は、
(円周)=(弦の長さ)×n
によって決まります。

　また、中心角は360度ですが連続値ですよね。これは、No3さんの言ったように、いくら分割しても、まだまだ分割できます。故に、円周は、無限に続くのです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.5

fk3678bn12

あなたが電話口の先にいる誰かに、手元の円と同一のものを書けるような情報を渡したい場合、何を教えますか？

ある真円を規定する場合、それはその円の直径（または半径）によってなされます。したがって、円周率がと直径との関係から成立することは極自然なことです。（唯一の規定物に対する割合）

つぎに無限に続く理由ですが、円周率とは「円の正多角形近似」の結果ともいえるわけで。有限数の角をもつ正多角形が決して真円にならない以上、円周率もまた有限にはなりえません。
（概念だけの話で、すいません）

お礼

＞円周率が直径との関係から成立することは極自然なことです。
ありがとうございます。

回答No.4

kbannai

無理数は循環しない無限小数です。
超越数はすべて無理数です。

で、円周率πは1882年にリンデマンが円積問題を否定的に解くことによって
「超越数」ということが証明されました。
（私にはその証明はわかりませんが…）

エネルギーと質量が等価というアインシュタイン式；
E=m*c^2
もすばらしい式だと思いますが、πだって、

e^(i*π)=-1

π/4＝1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+ ……

1+(1/2^2)+(1/3^2)+(1/4^2)+……＝(π^2)/6

etc

美しい数学の定理がありますね。
シンプルというか、調和がある式だと私は思います。

ところで、自然界がすべて有理数で表されるといったほうが不自然ではないですか？
無理数のほうが有理数よりも圧倒的に多いので、有理数であることのほうが、自然界
では稀なのではないでしょうか。

もっとも、私たちは自然数、整数など有理数をはじめに習うので、そう思って
しまいがちです。円周率を３として習ってしまうのも、自然が有理数で表されるほど
単純ではないと思い込んでしまうので、大失敗だと思います。

お礼

ありがとうございます。
＞自然界がすべて有理数で表されるといったほうが不自然ではないですか？
ありがとうございます。

回答No.3

wednesday11

無限に続かない数（整数、自然数など）は、何かを10個に分けるという原理によってできています（10進法の場合）。
ですが、自然界に存在するものには本来切れ目がありません。
切れ目がないものに9個の点を打って10個の区切りに分けると、
点と点の間に隙間ができますよね。
その点と点の間にまた9個の点を打ってもまたその隙間が残る。
結局、どこまで行っても隙間が残るんです。
その隙間に、無限に続く数がたくさん埋まっているのです。

シンプルとは、一重（ひとえ）、それ以上分けられないという意味です。
その分けられないものを無理やり10個に分けようとするのは
とても不自然なことで、できっこないわけです。
だから、自然がシンプルだからこそ、人工的な数字なんかで簡単に割り切れない、ということになります。

お礼

そうですね。
１０進数に無理が有るのかもしれませんね。
この地球では「2」「10」「12」「24」「60」などが使われていますね。
人の指は10進数、犬の指は8進数、そういえば指が10本だから、十進数？
ありがとうございました。

回答No.2

tnt

すべての値は割り切れる物である
って、考えた時点で、
もう、哲学に入ってしまっていませんか？
「自然は真空を嫌っている」アリストテレス　と
同じレベルで。

ルート２はシンプルな概念ですが、割り切れませんよね。
１／３だってそうです。
ｅ（自然対数）も同じですよね。
ｌｏｇ２，ｌｏｇ３も。

数学は人間が作りだした物で
自然は数学で割り切れる物ではない　って
考えた方が自然だと思うのですが

お礼

ありがとうございます。
哲学かもしれませんね。
√２は答えは続きますが、何かの値のきっちり何倍、とかいうようにならないものかと思ったのです。