全ての事象が１回以上発生する確率

質問

ある試行の結果がn種類あり、それぞれ確率は1/nで、
m回の試行でn種類全てが１回以上発生する確率を求めたいです。
たとえば
サイコロをm回振って1の面～６の面まで全てが１回以上出る(n=6)と言うことです。
どのように求めるのか教えてください。

※宿題や課題ではありません。

回答No.5

fuzisan3776

例題を使って計算方法を説明します。
　サイコロを６回振ったとき、いくつの目が出るか（例　１・１・１・２・２・４というふうに出たら、出た目は「１」と「２」と「４」の３つ）（順番の違いを無視しない）。

６つ出る出方は、１～６が１回ずつなので、１～６を並べ替えたものと考えられる。つまり、７２０通りである。

しかしこのやり方だと３つとか４つ出る出方の計算が難しい。

そのため、次のやり方をおすすめする。

１つ出る出方は「１が６回」、「２が６回」・・・「６が６回」なので６通り

２つ出る出方　まず、「１」と「２」のみが出ている出方を考える。サイコロを６回振って「１」と「２」のみが出る出方は２＾６＝６４通りである。しかしこの中には「１・１・１・１・１・１」と「２・２・２・２・２・２」という出方が含まれている。よって、「１」と「２」の２つが出る出方は６２通りである。「６つの目の中の２つ」は１５通りであるから、２つ出る出方の総数は６２×１５＝９３０通りである。

３つ出る出方　「１」と「２」と「３」が出る出方は３＾６＝７２９通りである。しかしこの中には１～３のうち１つおよび２つしか出ていないものも含まれている。１つしか出ていない出方は３通り、２つ出ている出方は、「１」と「２」が出ているものと「１」と「３」が出ているものと「２」と「３」が出ているものに分けられ、６２×３Ｃ２＝１８６通りとなる。そのため、「１」と「２」と「３」の３つが出ている出方は３＾６－３－６２×３Ｃ２＝５４０通りであり、３つ出る出方の総数は５４０×６Ｃ３＝１０８００通りである。

４つ出る出方　　４＾６－５４０×４Ｃ３－６２×４Ｃ２－４＝１５６０　　１５６０×６Ｃ４＝２３４００通り

５つ出る出方　（５＾６－１５６０×５Ｃ４－５４０×５Ｃ３－６２×５Ｃ２－５）×６Ｃ５＝１０８００通り

６つ出る出方　　６＾６－１８００×６Ｃ５－１５６０×６Ｃ４－５４０×６Ｃ３－６２×６Ｃ２－６＝７２０通り

確率論的には、１つ７７７６．０分の１　２つ５０．１６８分の１　３つ４．３２００分の１

４つ１．９９３８分の１分の１　５つ４．３２００分の１　６つ６４．８００分の１　となる（それぞれを出方の総数６＾６で割った値）。