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非同次２階微分方程式

siegmundの回答

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  • siegmund
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(1)　　λ^2 + 4λ + 8 = 0 の解が (2)　　λ1 = - 2 + 2i，　　λ2 = - 2 - 2i ですから，同次方程式の一般解は (3)　　C1 exp(λ1 x) + C2 exp(λ2 x) あるいは，同じことですが，λ1 = α+iβ，λ2 = α-iβ と書いて A = C1 + C2，B = i(C1 + C2) とすれば (4)　　exp(αx) (A cosβx + B sinβx) が同次方程式の一般解． y=2 が特解なのはすぐわかりますから， 結局，一般解は (5)　　y(x) = exp(-2x) (A cos 2x + B sin 2x) + 2 です． あとは初期条件 (6)　　y(0) = A + 2 = a から， (7)　　A = a - 2 また， (8)　　y'(0) = 2B = 0 から (9)　　B = 0 まとめて (10)　　y(x) = (a-2) exp(-2x) cos 2x + 2 ------------ 関数を与えても，それが満たす微分方程式は無数にあります． たとえば， (11)　　y^2 = Cx を一度 x で微分すると (12)　　2y (dy/dx) = C で， (11)(12)から C を消去してもよいし， (12)を もう一度 x で微分してもよい．

morisusu
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2個目の問題でy^2 = Cxと直交する曲線群ってどのように求めたらよいのでしょうか？ お願いします

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