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３次方程式の接線
曲線：y＝x^3－3x^2 に点(1,-2)で接する直線の方程式を求める問題なのですが、 f(x)＝x^3－3x^2 接点を(a,f(a)) とおいて、 微分して傾きを求めるやり方の他に、 求める直線をy＝mx＋nとおいて解く方法がのっていたのですが、 x^3－3x^2＝mx＋n より、 x^3－3x^2－(mx＋n)＝0 もう１つの接点のx座標をβとすると、 x^3－3x^2－(mx＋n)＝{(x－1)^2}(x－β) となり、恒等式を解くという解説なのですが、 (1)何故(x－1)が重解になっているのか (2)この方法はどんな時に役立つのか わからないので、教えてください。よろしくお願いします。
- h-storm
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(1) ＞点(1,-2)で接する直線の方程式を求める問題 だからです。 (α,f(α))で接する直線の方程式であれば、x=αが重解になります。 (2) いい例が思い浮かびませんが、 例えば、この曲線と接線の接点以外の交点を求める必要がある場合、この方法であれば、問題を解く過程で答えが出ているので、とても楽だと思います。
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- Mackey_Siro
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(1) ３次曲線と接戦の差の関数(x^3－3x^2－(mx＋n))がＸ軸に接する必要がありますよね？関数ｆ(x)がＸ軸に接すると言うことはどういうことか考えましょう。 「f(x)=０とf'(x)=０の連立方程式の解xが存在する」ということになると思いませんか？これは重解を意味します。 (2) この問題では遠回りですが、接点がわかっていない場合、接点のx座標をαと置くのと、接線の傾きをmと置くのと本質的には同じですよね？後者のときが威力を発揮する場合もあります。
お礼
接する＝重解 ということですね。ありがとうございます。
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