予備校の模試の解答に納得がいかないです。

質問

先日、某予備校の模擬試験を受けたのですが、その中に納得できない問題の解答があったので、質問しました。「３個のさいころを同時に振り、
出た目の最大値をＭ、最小値をＬとするとき、ｌ、ｍを１≦ｌ＜ｍ≦６を満たす整数とする。このとき、Ｌ＝ｌ，Ｍ＝ｍとなる確率Ｐ３をｌ、ｍを用いて表せ」
という問題なのですが、解答には「（ⅰ）ｍ－ｌ＝１のとき、Ｍ＝ｍ，Ｌ＝ｌとなる目の組み合わせは{ｌ、ｌ、ｌ＋１}、{ｌ、ｌ＋１、ｌ＋１}。よって、
Ｐ３＝（３×２）／６×６×６＝１／３６となっていたのですが、実際にＰ３を計算して見ますと、それを満たすさいころの目は、（１，１，２），（１，２，２）
（２，２，３），（２，３，３），（３，３，４），（３，４，４），（４，４，５），（４，５，５），（５，５，６），（５，６，６）の１０通りであり、それぞれ
３つのさいころの目に対応させると、それぞれの目に３通りずつあるので、全部で３０通りあります。よって、この場合の確率は３０／６×６×６＝５／３６だと思うのです。
なぜ解答がずれるのでしょうか？ご解答のほどよろしくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

ｍ－ｌ＝１を満たすのは、例えば、m=2,l=1という組み合わせです。

なので、この場合は、(1,1,2),(1,2,2)の２通りのみです。

(m,l)=(2,3),(3,4),…,(5,6)の場合も同様ですね．

よって、２×３／(６×６×６)＝１／３６

が正しいと私は考えます。

補足

投稿ありがとうございました。eatern27さんのご回答だと、どうして一通りしか根元事象として採用しないのか、という疑問が解けません。
ちゃんと、10通りあるのだから、どうしてそのすべてを採用しないのだろう。なぜ一通り？と思います

回答No.7

eatern27

#1です。補足見ました。

具体的に
＞ｌ、ｍを１≦ｌ＜ｍ≦６を満たす整数
＞ｍ－ｌ＝１
を満たすｍ,ｌの組み合わせを１つ考えて下さい。

今、思い浮かべたｍが最大値、ｌが最小値となるような目の組み合わせを書き出してください。(つまり、Ｍ＝ｍ、Ｌ＝ｌとなる組み合わせを書き出してください)

(1,1,2),(1,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,5),(4,5,5),(5,5,6),(5,6,6)
の10個になりますか？

なりませんよね？今、どのような組み合わせを思い浮かべたのかは分かりませんが,
(l,m)=(1,2)なら、(1,1,2),(1,2,2)
(l,m)=(2,3)なら、(2,2,3),(2,3,3)
(l,m)=(3,4)なら、(3,3,4),(3,4,4)
(l,m)=(4,5)なら、(4,4,5),(4,5,5)
(l,m)=(5,6)なら、(5,5,6),(5,6,6)
の2通りのみです。

なので、どんな(l,m)にせよ、具体的にサイコロの目の組み合わせを書くと(l,l,l+1),(l,l+1,l+1)の２通りです。

この回答で納得できなければ、いくらでも補足してください。

お礼

なーるほど。分かりました。ある１～６までの自然数一つに対しての問いだったのですね。ありがとうございました。

回答No.6

kony0

問題文を読むと、求めるものは「Ｌ＝ｌ，Ｍ＝ｍとなる確率Ｐ３」となっています。決して「Ｍ－Ｌ＝○となる確率」を求めることを要求していません。

問題で要求しているのは前者、質問者さんが回答されたのは後者で、問題文の要求と異なるものを求められています。

本当は、問題文で「Ｌ＝ｌ，Ｍ＝ｍとなる確率Ｐ３（ｌ，ｍ）」と書いてあれば、問題文解釈の齟齬の余地なしと思料いたしますが・・・

回答No.5

Rossana

>taijiさんの出した解答はΣ[2≦m≦6]Σ[1≦l≦5]P3に
>対応している．
すいません．これをよく考えてみるとおかしい事に気付きました．
「taijiさんの出した解答はm=l+1の条件下で
Σ[1≦l≦5]P3に対応している．」
に訂正お願いします．

回答No.4

Rossana

なるほど、おそらくこういうことだろうと思います．

ある固定されたm,lに対する確率がP3→これが回答の求めている解答．

すべてのm,lに対する確率がP3と解釈→これがtaijiさんの出した解答．
taijiさんの出した解答はΣ[2≦m≦6]Σ[1≦l≦5]P3に対応している．

補足

投稿ありがとうございました。いや、固定された値に対してではありません。自分が分からないのが、
どうして、実際に求めた値と、解答例のように求める値が、違ってしまうのかが分からないのです。

回答No.3

Rossana

他に何らかの制限される条件はないでしょうか？

補足

投稿ありがとうございました。いや、これが条件のすべてです。

回答No.2

kony0

(l,m)=(1,2)のときP3=1/36
(l,m)=(2,3)のときP3=1/36
・・・
(l,m)=(5,6)のときP3=1/36
「３回のさいころを振って最大と最小の差が１となる確率」は5/36

「(i)m-l=1のとき」の“P3”とは「３回のさいころを振って最大と最小の差が１となる確率」ではありません。

お礼

投稿ありがとうございました。では、「3回のさいころを振って最大と最小の差が一になる確率」でないとすれば、なんなのでしょうか？実際確率の問題というのは、すべての根元事象の個数を数え上げるのが原則であるわけですよね。とするなら、この方法と、解答例がどうしてこんなに食い違うのでしょうか？