- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
みんなの回答
- tmppassenger
- ベストアンサー率76% (285/372)
- takochann2
- ベストアンサー率36% (2062/5697)
関連するQ&A
- 五の四 高校数学の場合の数です
1から2nまでの2n個の整数がある 次の二つの性質(A),(B)をもつ4つの整数a,b,c,dをこの2n個の整数から選ぶ選び方は何通りあるか、ただしn>=2とする(A)1<=a<b<c<d<=2n (B)a+d=b+c 回答d-aを固定してkは自然数として(1)d-a=2k+1のときはa,dの決め方はa=1~2n-(2k+1)の2n-(2k+1)通りでb,cの決め方はk通り (2)d-a=2(k+1)のときはa,dの決め方がa=1~2n-2(k+1)の2n-2(k+1)通りでb,cの決め方はk通り したがって求める場合の数はΣ[k=1→n-1]{2n-(2k+1)}k+Σ[k=1→n-1]{2n-2(k+1)}k =Σ[k=1→n-1]{(4n-3)k-4k^2}=n(n-1)(4n-5)/6 (注)(B)は数直線上でaとdの中点とbとcの中点が同じという条件でこの中点の位置を固定するのがよく例えばn=4のとき中点が3.5と4の場合は各3C2通り、中点が5.5と5の場合も各3C2通りと考えて 4Σ[k=3→n](k-1)C2+nC2=4×nC3+nC2 となっていたのですがまず(1)と(2)でd-a=2k+1とd-a=2(k+1)の場合で分ける理由がわかりません a,dの決め方が(1)でa=1~2n-(2k+1)の2n-(2k+1)通り、(2)でa=1~2n-2(k+1)の2n-2(k+1)通りとなるのもよくわからないです (1)と(2)でb,cの決め方はk通りと同じになるのも何故なのかわかりません Σ[k=1→n-1]{2n-(2k+1)}k+Σ[k=1→n-1]{2n-2(k+1)}kとかのkがn-1までなのが何故なのかわかりません 注の所はn=4の時2n=8ですから中点って4.5じゃないんですか?何故3.5と4の場合とか5.5と5の場合とかで考えるのがわからないのと3C2というのが何で出てくるのかと最後の4Σ[k=3→n](k-1)C2+nC2=4×nC3+nC2見たいな式が何で出てくるのか、とにかくサッパリわかりません
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 場合の数(高校レベルだと思います)
凸n角形(n≧4)の3個の頂点を結んで得られる三角形のうちもとのn角形と辺を共有しないものの個数を求めなさい。 簡単な問題ですみません。n個の頂点から3個の頂点を選ぶことで、作れるすべての三角形の数はnC3でオッケーだと思うんです。ここからもとのn角形と辺を共有している三角形を除けば良いと思い、一つの共有する辺と一つの頂点で出来る三角形が一つの辺につき(n-4)なので、n(n-4)個、二つの共有する辺で出来る三角形がn個、つまりnC3-n(n-4)-nが答えなのかな?って考えてみたのですが、間違っている気がします。・・・。(ーー;)どうでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 組み合せと場合の数について教えてください!
1,1,2,2,3,3、・・・・・・・・n,nの2n個を、2個ずつのn組に分ける方法は何通りありますか。 例えば、n=3の時は、(1、1)(2、2)(3、3)、、、(1、1)(2、3)(2、3)、、、(1、2)(1、2)(3、3)、、、(1、3)(1、3)(2、2)、、(1、2)(1、3)(2、3) の5通りとなります。 自分は以下のように考えましたが、最後の漸化式が解けませんでした。 まず題意を満たす場合の数をa(n)とし、また1,1,2,2・・・・・n,n,r,sの2(n+1)個を、2個ずつのn+1組に分ける場合の数をb(n)とします。 a(n+3)について考えると(n≧1)、 (i)(n+3,n+3)と組みにしたとき、残りの分け方はa(n+2)通り。 (ii)(n+3,k)(n+3,k)と組みにしたとき(1≦k≦n+2),残りの分け方はa(n+1)通り。 (iii)(n+3,j)(n+3,k)と組みにしたとき(1≦j<k≦n+2)、jとkの選び方はn+2C2通りで、残りの分け方はb(n)通り。 (i)(ii)(iii)より、a(n+3)=a(n+2)+(n+2)×a(n+1)+n+2C2×b(n),(n≧1)・・・・・・・(1) b(n+1)について考えると(n≧1)、 (i)(r,s)と組みにしたとき、残りの分け方はa(n+1)通り。 (ii)(r,k)と組にしたとき(1≦k≦n+1)、残りの分け方はb(n)通り。 (i)(ii)より、b(n+1)=a(n+1)+(n+1)×b(n),(n≧1)………(2) (1)(2)からa(n)を消去すると 2×b(n+3)-2×(n+4)×b(n+2)+(n+2)(n+1)b(n)=0,(n≧1)・・・・・・・(3) (1)(2)からb(n)を消去すると 2×a(n+3)-2×(n+3)×a(n+2)+(n+2)(n+1)a(n)=0,(n≧1)・・・・・・・(4) 上の問題はあるテキストの問題から考えました。そのテキストでは同じ数字を区別してやっていたのでわりとやりやすかったのですが、区別しないとどうなるだろうと考えたのが上の問題です。数学が得意な方よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 場合の数?早稲田理工の問題がどうしても分かりません
問題文は以下の通りです、分かる方おられましたら、どうかご教授お願いしたいです、何卒心よりよろしくお願いいたします<(_ _)> 異なるn個の数字をk個のグループに分ける方法の総数をₙSₖと表す。 (1≦k≦n)ただし、各グループは少なくとも1つの数字を含むものとする。 ここで、2≦k≦nのとき、ₙ₊₁Sₖ=ₙSₖ₋₁+kₙSₖが成り立つことを示せ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 完全順列の問題
完全順列についての漸化式D ( n ) = ( n - 1 ) { D ( n - 2 ) + D ( n - 1 ) }がありますが、その証明方法がわかりません。(1)一番目がkでk番目が位置の場合(2)一番目がkで、k番目が1以外の場合 の二つに場合分けして解く方法は理解しました。 今回質問したいのは、「n枚の完全順列の個数をanとします。 (1)ここへn+1枚目の札をn+1番目に追加します。 n+1番目の札を1~n番目の札のどれか1枚と交換すれば、 n+1枚とも順番が一致しなくなります。よって、an個ある完全順列からn+1番目へはそれぞれn個ずつの完全順列が作れます。 (2)また、n個のうちk番目だけが揃ってしまっているものからも、 k番目の数とn+1番目の札を入れ替えれば、これも完全順列の1つとなります。n個のうちk番目だけが揃っている札の並べ方をbnとすると、 1~nまでのn個のbnから、それぞれ1通りずつの完全順列(の1部)が作れます。 以上のことより、次の漸化式が作れます。 an+1=nan+nbn ……(i) k番目以外はn-1個の完全順列となっているため、 bn=an-1 (n≧2)が成り立ちます。これを(i)II代入して上の漸化式が求まります。」 という解説が理解できないということです。具体的な疑問点は、(1)、(2)のせれぞれの操作は各々理解しているものの、なぜこれを足し合わせればすべて網羅したことになるのかということです。他に数えもれがありそうのように思えます。そもそもなぜこのようなやり方なのでしょうか。 ご教授のほどよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 場合の数 ブラインドテスト
山梨県で作られた,見ただけでは区別のつかない、ワインの銘柄を、試飲することによって当てる競技会がある。この競技会は、あらかじめ知らされたk銘柄のワインが全く同じ形状のk個のグラスに入れてあり、これらを飲食し、どのグラスのワインがどの銘柄であるかを当てるものである。すべてはずれるようなテスト結果がf(k)通りあるとする。 (2)n>=2のとき,f(n+1)をf(n)とf(n-1)で表せ。 (2)の答がf(n+1)=nf(n)+nf(n-1)なのですが、これでは、例えば、n+1=5のとき、ABCDにEを足して、A→E,B→A,C→B,D→C,E→Dみたいな交換が考慮されていないのではないのですか?教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 場合の数
2以上の整数nについて、集合{1,2,…,n}をSとし、Sの部分集合で要素が2個のもの全体の集合Vを考える。さらに、Vの空集合でない部分集合で、要素をk個持ち、それらのどの要素である数も一致しないものとをTとし、T全体の集合Uの要素の数をf(n,k)とする。 V={{1,2},{1,3},{1,4},…} T={{1,2},{3,4},{5,6}} (k=3の一例) (1)nが偶数のとき、f(n,k)≧1すなわちTが存在するためのkの条件を不等式で表し、そのもとでf(n,k)をn,kで表せ。 (2)f(n,k)=f(n,1),k≠1となるようなn,kの組をすべて求めよ。 (1)Tが存在する条件は2kがnを越えてはいけないと考え1≦k≦n/2と答を出しました。 f(n,k)=n!/{(n-2k)!k!2^k}という答を数値代入で出してみましたがよくわかりません。 (2)は代入で(n,k)=(6,3)が出ましたがまだあるかもしれません。 (1)についての解き方と(2)については解き方と答を教えてもらえるとありがたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 第二種スターリング数の母関数の組合せ論・計数子による解釈
1,2,3,…,nのn個の数字を、k種類の区別のないグループに分ける場合の数を、第二種スターリング数と言って、ここでは、S(n,k) と書きます。 すると、1,2,3,…,nのn個の数字を、k種類の区別のあるグループに分ける場合の数は、k!*S(n,k) となります。 これは、f:{1,2,…,n}→{1,2,…,k}の全射の場合の数でもあります。 ところで、 Σ[n=0,∞] k!*S(n,k)x^n/n! = (e^x - 1)^k という公式があります。 右辺のx^n/n!の係数は、1,2,…,kの数字を重複を許してn個並べて、全種類の数字が少なくとも1回は使われているという条件をつけたときの場合の数とみなせます。(指数型計数子) ここまではいいのですが、似たような公式 Σ[n=0,∞] S(n,k)x^n = x^k/(1-x)(1-2x)…(1-kx) を計数子によって解釈する方法があれば、どうか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位相空間において、連続写像g:[0,1]→T、g(0)=a、g(1)=cが存在するかどうかを検討します。
- 連続写像φ:[0,1]→T、φ(0)=a、φ(1)=bと連続写像ψ:[0,1]→T、ψ(0)=b、ψ(1)=cが存在する中で、g(x)=φ(2x)(0≦x≦1/2)、g(x)=ψ(2x−1)(1/2≦x≦1)という連続写像を考えます。
- 連続写像gの連続性を確認するために、g(1/2)∈Uなる開集合U⊂Tを任意に取ります。g:[0,1/2]→Tの連続性とg:[1/2,1]→Tの連続性から、それぞれの区間で連続であることが示されます。ただし、[0,1]の位相の元であるV1とV2が開集合であるかどうかは判明していません。