元利均等返済方式の支払い回数、計算式について

質問

「元利均等返済の金利方式」のローン計算 で、1回あたりの返済金額 X を求める式は

X ＝ 借入元金×借入金利×（1 + 金利)^支払い回数 ÷ （1 + 金利)^支払い回数 -1
ですが、
逆に 1回あたりの返済金額 が決まっており、「支払い回数」 を X として求める式を組み立てようとしています。

下記のサイト等を参考にすると、
https://www.naganomathblog.com/entry/2015/03/13/115643

支払い回数を求める式は

X = log( 1回あたりの返済金額 ÷ (1回あたりの返済金額 - 借入元金 × 借入金利) ) ÷ log(1 + 借入金利)

となっており、確かにlogを使って求められるのですが、
logを使わないで、前者の返済金額 X を求める式の移項式を使って計算式を組み立てることは可能なのでしょうか？

それが可能であれば、前者の計算式はどのような過程で変わりますか？

回答No.1

f272

X:1回あたりの返済金額
r:借入金利
A:借入元金
n:支払い回数
とすると，あなたの書いた最初の式は
X=rA(1+r)^n/((1+r)^n-1)
です。これから
rA(1+r)^n=X((1+r)^n-1)
rA(1+r)^n-X(1+r)^n=-X
(rA-X)(1+r)^n=-X
(1+r)^n=X/(X-rA)
n*log(1+r)=log(X/(X-rA))
となって，以下の式が導けます。
n=log(X/(X-rA))/log(1+r)
これはrが十分に小さければA/Xに近い値になります。

お礼

ご回答いただきありがとうございます！
非常に納得がいきました！