図形と方程式

質問

図形と方程式の入試問題になります。
どなたか丁寧な説明よろしくお願い致します。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

y=kx,y=mx,y=ℓx
がx軸の正の向きとなす角をそれぞれα，β，γとすると
tanα=k，tanβ=m，tanγ=ℓ
である。そしてy=kx,y=ℓxの為す角がθであるから
θ＝α-γ
tanθ＝tan(α-γ)
=(tanα-tanγ)/(1+tanαtanγ)
=(k-ℓ)/(1+kℓ)　……(ア)

「角を２等分する直線」については「点と直線の距離」で「等距離」と考えます。このことは設問の中に考え方が述べてありますね。
点Pは直線y=mx上の点であるからP(t,mt)とおくことができる。
点Pから２直線kx-y=0,ℓx-y=0への距離が等しいから
|kt-mt|/√(k^2+1)=|ℓt-mt|/√(ℓ^2+1)
|t||k-m|/√(k^2+1)=|t||ℓ-m|/√(ℓ^2+1)
|k-m|/√(k^2+1)=|ℓ-m|/√(ℓ^2+1)
|k-m|/√(1+k^2)=|ℓ-m|/√(1+ℓ^2)　……(イ,ウ)

この等式を平方して
(k-m)^2/(1+k^2)=(ℓ-m)^2/(1+ℓ^2)
分母を払って展開して整理すると次の等式を得ます。
(k+ℓ)m^2-2(kℓ-1)m-(k+ℓ)=0
m^2-(2(kℓ-1)/(k+ℓ))m-1=0　……(エ)

m=1のとき(エ)より
1-(2(kℓ-1)/(k+ℓ))-1=0
2(kℓ-1)/(k+ℓ)=0
kℓ-1=0
kℓ=1　……(オ)

tanθ＝3/4のとき(ア)より
(k-ℓ)/(1+kℓ)=3/4
(k-ℓ)/2=3/4　(∵kℓ=1)
k-ℓ=3/2

kℓ=1，k-ℓ=3/2を同時満たすk,ℓの値は，連立方程式を解いて
k=2,ℓ=1/2　……(カ，キ)
となります。