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logの入った最小二乗法について
stomachmanの回答
- stomachman
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●正攻法だと非線形最小二乗法を使います。過去の質問から「最小二乗法」を検索すれば、参考資料等いろいろ分かるはず。 ●最小二乗法の一般的注意事項として、何を最小にするかをはっきりさせる必要があります。モデル y=ln(x-b)-ln(x-c) は exp(y) = (x-b)/(x-c) や (x-c) exp(y)=x-b と同じ意味ですけれど、 残差 ε[k] = y[k] - (ln(x[k]-b)-ln(x[k]-c)) の二乗和を最小にするb, cは、残差 δ[k] = exp(y[k]) - (x[k]-b)/(x[k]-c) の二乗和を最小にするb, cや γ[k] = (x[k]-c) exp(y[k])-(x[k]-b) の二乗和を最小にするb, cとは違いますからね。 しかし、データ(x[k],y[k]) (k=1,2,.....,K) がモデルと良く合っていて残差がごく少なくできる(そのようなb,cが存在する)場合には、どれでやってもほとんど同じb,cが得られます。そういう時は、実用上どれでやっても大差ない訳です。 ●以上をふまえた上で、ご質問の例の場合、モデルは x[k] (exp(y[k])-1)=c exp(y[k])-b と表すことができます。だから、c,bについて見ると線形最小二乗法になってます。どういうことかというと、 X[k]=exp(y[k]) Y[k]=x[k] (exp(y[k])-1) とおけば、X[k],Y[k]は共にデータ(x[k],y[k])が与えられれば値が確定する。そしてモデル Y[k]=c X[k] - b のb,cを決めろ、という問題です。これなら簡単でしょ? このやり方は、飽くまでも残差 β[k] = x[k] (exp(y[k])-1) - (c exp(y[k])-b) の二乗和を最小にするb, cを求めるのであって、ε[k]の二乗和を最小にするb, cとは完全には一致しない。これは頭に入れて置いてくださいね。 と回答しようとしたら、siegmund先生が既に......なはは。せっかく書いたからupしちゃおうっと。
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