a,mは正の定数とする。放物線P:y=x^2/4a

質問

a,mは正の定数とする。放物線P:y=x^2/4aと中心(0,m)の円Cについて、円Cが放物線Pと1点にのみを共有するようなmの範囲を求めよ。
この問題の解説で、
CとPの共有点を求めると、y=0,-4a+2mだというところまでは理解しました。
しかし、その後の
題意を満たすのは、
2m-4a≦0または2m≦2m-4a
という部分がなぜ成立するのかがわかりません。
どちらのグラフもy軸方向の正側にあるのに、2m-4a≦0はどのように存在するというのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.6

jcpmutura

2m-4a<0の時,y=0>2m-4aなので
2m-4aは交点のy座標ではありません

2m-4a=0の時だけ交点のy座標=0に一致します

円Cの半径を
r
とする
放物線P:y=x^2/(4a)
と
円C:x^2+(y-m)^2=r^2
の
交点を(x,y)
Pの両辺に4aをかけると
4ay=x^2
これをCに代入すると
4ay+(y-m)^2=r^2
4ay+y^2-2my+m^2=r^2
y^2+(4a-2m)y+m^2=r^2
両辺からr^2を引くと
y^2+(4a-2m)y+m^2-r^2=0…(1)
このyに関する2次方程式が実根を持つから
それをα,βとすると
(y-α)(y-β)=0…(2)
α>0とするとPから
x^2/(4a)=y=α
両辺に4aを掛けると
x^2=4aα>0
x=±2√(aα)
(2)の方程式は2つ以上実根を持つから
円Cが放物線Pと1点のみ共有に矛盾するから
α≦0…(3)
β>0とするとPから
x^2/(4a)=y=β
両辺に4aを掛けると
x^2=4aβ>0
x=±2√(aβ)
(2)の方程式は2つ以上実根を持つから
円Cが放物線Pと1点のみ共有に矛盾するから
β≦0…(4)
α<0,かつ,β<0とするとPから
y-α=x^2/(4a)-α>0
y-β=x^2/(4a)-β>0
(y-α)(y-β)>0
となって(2)に矛盾するから
α≧0.又は.β≧0
これと(3),(4)から
(α=0.かつ.β≦0).又は(α≦0.かつ.β=0)
α,βのどちらかが0になる
だから
β=0とすると
(1),(2),(3)と解と係数の関係から
0≧α=α+β=2m-4a…(5)
0=αβ=m^2-r^2
だから(1)から
y^2+(4a-2m)y=0
∴
y(y+4a-2m)=0…(6)
...............←y+4a-2m=0となるとは限らないので
...............←ここでy=0,-4a+2mとしてはいけません。
(5)から
2m-4a≦0
だから

2m-4a=0の時
y^2=0
y=0
x=0
共有点は(0,0)1点のみ

2m-4a<0の時
y+4a-2m>0だから(6)の両辺をy+4a-2mで割ると
y=0
x=0
共有点は(0,0)1点のみ
∴
2m-4a≦0
m-2a≦0
∴
m≦2a

回答No.5

jcpmutura

間違えました#1～#4は取消ます
訂正します

円Cの半径がmの時

放物線P:y=x^2/(4a)
と
円C:x^2+(y-m)^2=m^2
の
交点を(x,y)とすると
PをCに代入すると
x^2+{x^2/(4a)-m}^2=m^2
両辺に16a^2をかけると
16a^2x^2+{x^2-4am}^2=16a^2m^2
16a^2x^2+x^4-8amx^2+16a^2m^2=16a^2m^2
x^4+16a^2x^2-8amx^2+16a^2m^2=16a^2m^2
x^4+8a(2a-m)x^2+16a^2m^2=16a^2m^2
x^2{x^2+8a(2a-m)}+16a^2m^2=16a^2m^2
両辺から16a^2m^2を引くと
x^2{x^2+8a(2a-m)}=0…(1)
↓
8a(2a-m)<0の時
x=±√{8a(m-2a)}
交点が2つ以上になるから
8a(2a-m)≧0
となる
2a-m≧0
m-2a≦0
2m-4a≦0
となる

2m-4a=0の時
x^4=0
x=0
y=0
交点は(0,0)1点のみ共有する

2m-4a<0の時
x^2+8a(2a-m)>0
となるから
(1)の両辺をx^2+8a(2a-m)で割ると
x^2=0
x=0
y=0
交点は(0,0)1点のみ共有する
∴
2m-4a≦0
∴
m-2a≦0

回答No.4

jcpmutura

その解説では交点が1点以下の(1点か又は交点が無い)
場合を考えているため、途中で
2m-4a≦0または2m≦2m-4a
という部分が成立し
2m-4a<0
も
2m≦2m-4a
も
両方あり得ないため
2m-4a=0
の部分が残って
m-2a=0
となり
答えは
m=2a
となるのです

以下はその解説の方法でない解法です

円Cの半径を
r
とする
放物線P:y=x^2/(4a)
と
円C:x^2+(y-m)^2=r^2
の
交点を(x,y)
PをCに代入すると
x^2+{x^2/(4a)-m}^2=r^2
両辺に16a^2をかけると
16a^2x^2+{x^2-4am}^2=16a^2r^2
16a^2x^2+x^4-8amx^2+16a^2m^2=16a^2r^2
x^4+16a^2x^2-8amx^2+16a^2m^2=16a^2r^2
x^4+8a(2a-m)x^2+16a^2m^2=16a^2r^2
両辺から16a^2r^2を引くと
x^4+8a(2a-m)x^2+16a^2m^2-16a^2r^2=0
x^4+8a(2a-m)x^2+16a^2(m^2-r^2)=0…(1)
円Cが放物線Pと1点にのみ共有するから
x^2に関する方程式が重根を持つから
判別式D=0となるから
D={4a(2a-m)}^2-16a^2(m^2-r^2)=0
=16a^2(2a-m)^2-16a^2(m^2-r^2)=0
=16a^2{(2a-m)^2-m^2+r^2}=0
=16a^2{4a^2-4am+r^2}=0
a>0だから両辺を16a^2で割ると
4a^2-4am+r^2=0
r^2=4am-4a^2
これを(1)に代入すると
x^4+8a(2a-m)x^2+16a^2{m^2-(4am-4a^2)}=0
x^4+8a(2a-m)x^2+16a^2(m^2-4am+4a^2)=0
{x^2+4a(2a-m)}^2-16a^2(2a-m)^2+16a^2(m^2-4am+4a^2)=0
{x^2+4a(2a-m)}^2+16a^2(m^2-4am+4a^2)-16a^2(2a-m)^2=0
{x^2+4a(2a-m)}^2+16a^2{m^2-4am+4a^2-(m^2-4am+4a^2)}=0
{x^2+4a(2a-m)}^2+16a^2(m^2-4am+4a^2-m^2+4am-4a^2)=0
{x^2+4a(2a-m)}^2+16a^2(m^2-m^2+4am-4am+4a^2-4a^2)=0
{x^2+4a(2a-m)}^2=0
x^2+4a(2a-m)=0
円Cが放物線Pと1点にのみ共有するから
xに関する2次方程式が重根を持つから
判別式D=0となるから
D=-4a(2a-m)=0
=4a(m-2a)=0
a>0だから両辺を4aで割ると
m-2a=0
∴
m=2a

回答No.3

jcpmutura

交点のy座標が負になるとは言っていません
y座標
2m-4a≦0
はy座標
2m-4a
が負になると言っているのではなく
y座標
2m-4a
が0を含む
0以下になると言っているのです

円Cの半径がmの時

放物線P:y=x^2/(4a)
と
円C:x^2+(y-m)^2=m^2
の
交点を(x,y)とすると
PをCに代入すると
x^2+{x^2/(4a)-m}^2=m^2
両辺に16a^2をかけると
16a^2x^2+{x^2-4am}^2=16a^2m^2
16a^2x^2+x^4-8amx^2+16a^2m^2=16a^2m^2
x^4+16a^2x^2-8amx^2+16a^2m^2=16a^2m^2
x^4+8a(2a-m)x^2+16a^2m^2=16a^2m^2
x^2{x^2+8a(2a-m)}+16a^2m^2=16a^2m^2
両辺から16a^2m^2を引くと
x^2{x^2+8a(2a-m)}=0
↓
x=0.又は.x^2=8a(m-2a)
y=0.又は.y=2m-4a
円Cが放物線Pと1点にのみ共有するから
y=2m-4a=0
∴
2m-4a=0
となるので

2m-4a≦0

回答No.2

jcpmutura

交点が負になるとは言っていません

2m-4a≦0
は
2m-4a
が負になると言っているのではなく
2m-4a
が0を含む
0以下になると言っているのです

円Cの半径がmの時

放物線P:y=x^2/(4a)
と
円C:x^2+(y-m)^2=m^2
の
交点を(x,y)とすると
PをCに代入すると
x^2+{x^2/(4a)-m}^2=m^2
両辺に16a^2をかけると
16a^2x^2+{x^2-4am}^2=16a^2m^2
16a^2x^2+x^4-8amx^2+16a^2m^2=16a^2m^2
x^4+16a^2x^2-8amx^2+16a^2m^2=16a^2m^2
x^4+8a(2a-m)x^2+16a^2m^2=16a^2m^2
x^2{x^2+8a(2a-m)}+16a^2m^2=16a^2m^2
両辺から16a^2m^2を引くと
x^2{x^2+8a(2a-m)}=0
↓
x=0.又は.x^2=8a(m-2a)
円Cが放物線Pと1点にのみ共有するから
x^2=8a(m-2a)=0
両辺を8aで割ると
∴
m-2a=0
∴
2m-4a=0
となるので

2m-4a≦0

補足

2m-4aは交点のy座標を表しているのではないのですか？

回答No.1

jcpmutura

円Cの半径がmの時

放物線P:y=x^2/(4a)
と
円C:x^2+(y-m)^2=m^2
の
交点は
原点
(0,0)
となり
2m-4a=0
となり
2m-4a≦0
となります

補足

>2m-4a=0
となり
2m-4a≦0
もう少し詳しく教えてください。どちらも正のグラフなので交点が負になるのはありえないのでは？