電場

質問

問題が解けなくて困っています。

真空中で長い直線上の点Aにq(>0)、同じ直線上でAからLだけ離れたBに4qの点電荷がおかれている。
第三の電荷q´を導入してすべての電荷に働く力が0となるようにしたい。
q´を置く点Cの位置とq´の大きさを求めよ。

解答：点CはL/3の位置で、q´＝-4q/9

導出の仕方がわからず困っています…解説お願いします。

回答No.2

SKJAXN · ベストアンサー

点A、Bに置いた電荷が共に正であり、その電気力線は共に点電荷からの湧き出しとなりますので、点Aから見て点Bの向う側、または点Bから見て点Aの向う側においては、各電荷の電気力線の向きが一致しますので、点Aと点Bが作る合成電場が0になる位置は存在しません。
よって、電気力線の向きが相反する点A、Bの間に合成電場が0となる位置、すなわち点Cが存在します。
その位置を、点Aから点Bへ向けて距離x（0＜x＜L）とおきます。
点Aが点Cに作る電場E(A→C)は、クーロンの比例定数をkとおくと、
E(A→C)＝k*q/(x^2)
点Bが点Cに作る電場E(B→C)は、
E(B→C)＝k*(4*q)/((L－x)^2)
これらの方向は相反するので、点Cにおける合成電場Ecは、
Ec＝E(A→C)－E(B→C)
であり、これが0になるため、
E(A→C)＝E(B→C) ⇔ 1/(x^2)＝4/((L－x)^2) ⇔ 1/x＝2/(L－x)　（∵　0＜x＜L）
よって、x＝L/3
と求まります。これは点Bから点Aへ向けて2/3*Lの位置です。（※　この位置に何クーロンの点電荷を置いても、合成電場が0であるため点電荷には力が働きません）

次に、点Cに電荷q'（ここでは正と仮定しておきます）を置いた際の点Cが点Aに作る電場E(C→A)は、
E(C→A)＝k*q'/((L/3)^2)＝9*k*q'/(L^2)
また点Bが点Aに作る電場E(B→A)は、
E(B→A)＝k*(4*q)/(L^2)
点Aにおける合成電場Eaが0になれば、点Aに置いた点電荷に力が働かなくなるため、
Ea＝9*k*q'/(L^2)＋4*k*q/(L^2)＝0
よって、q'＝－4/9*q
と求まります。

最後に、点Bに置いた点電荷に力が働かないことの確認です。
点Cが点Bに作る電場E(C→B)は、
E(C→B)＝k*(－4/9*q)/((2/3*L)^2)＝－k*q/(L^2)
点Aが点Bに作る電場E(A→B)は、
E(A→B)＝k*q/(L^2)
点Bにおける合成電場Ebは、
Eb＝E(C→B)＋E(A→B)＝0
となり、点Bに置いた点電荷には力が働かないことが分かります。

※　着目点における合成電場を求める際に、着目点に置いた（または置く予定の）点電荷を考える必要はありません。点電荷に作用する力の計算とごっちゃになって、合成電場の計算ができなくなるケースを見掛けますので、ご留意下さい。

お礼

解説ありがとうございます！
納得できました。