高校数学の数列の問題再質問です

質問

• 最初のΣ[k=1→n]k^pはｎのp+1次式とあるのですが、これはp次式じゃないですか？p乗なわけですし
• 自然数m(>=2)について(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=m+1C1・k^m+m+1C2・k^(m-1)+...となるとありますが何故m>=2から始めるのですか1からじゃ駄目なんですか？
• (n+1)^(m+1)-1=m+1C1・Σ[k=1→n]k^m+m+1C2Σ[k=1→n]k^(m-1)+～この式が何故等号で同じになるのか分かりません、それとこの式をp<=m-1の時で考えるのが分かりません

回答No.6

think2nd

疑問ばっかり持って(しかもその疑問は解答の解説についてのようで)、ほんとに理解しているのか、
疑問になりますが、面白い(トリビアルな)疑問で　ついつい乗せられてしまいます。
あなたがその純粋な、疑問を捨てる時が、数学を諦めるスタートになるかが心配です。
疑問を持つことを忘れいでください、もう一つ鉛筆を持って自分で解いて、疑問を作ってください。
実践して気づいた疑問は、見て気づいた疑問と違って、相手に説明する迫力が違います。

「解説の
最初のΣ[k=1→n]k^pはｎのp+1次式とあるのですが、これはp次式じゃないですか？p乗なわけですし」
　について、ヒントを書きます。
　理論的で素直な観察力を持つあなたの全く正しい疑問です。疑う余地などありません。

Σ[k=1→n]k^pについて、
　P=1のときは　公式より
　　　1+2+・・+n=n(n+1)/2・・・(1)
　ですから、左辺は1次式で、右辺は2次式ですし、　　　
p=2のときも　2乗和の公式から
1^2+2^2+・・+n^2=n(n+1)(2n+1)/6・・・(2)
　ですから、左辺は2次式で、右辺は3次式　
　・・・でなんだか、トリックにかかったようですよね。
　　よく迷った時は、定義に戻れと言われたもんでした。
　種明かしをしますが、上の公式の左辺の次数は仮説でも何でもありません。自然な式です。もちろん次数もわかります。
(1)についてお話します。
　　着眼点は左辺の+・・・+の箇所です。ここがトリックの箇所と考えました。
　　直観的には　左辺は何項足されていますか。
　そうn回足されています、しかもそれらを足していますからn×nです。だから左辺は2次式になります。
　以上のような回答では納得しませんよね。

　解いて解説します。
　　(1)の左辺から+・・・+を取り払って自然な整式をつくりましょう。そして次数を考えましょう。
　　それを突破口と考えます。<目的は左辺が1次式かですよ。!>
　　1からnまでの和をS[n]とおくすなわち
　　S[n]=1+2+・・+n とするとS[n-1]+n=S[n]・・(3)　(n>1)が成り立ちますよね。

　　さてS[n]=1+2+・・+(n-1)+nですが、これを後ろから、各項を変形します。
　　　　　={n-(n-1)}+{n-(n-2)}+・・+{n-(1)}+{n-(0)}　←いいでしょうか?
　{の次にくるnは全部でn個ありますから、足せばn^2と求まります。
　　整理しましょう。
　　　　S[n]=n^2-{(n-1)+(n-2)+・・・+1}・・・(4)ですが。
　はて疑問!!
　　今度はこの右辺の{(n-1)+(n-2)+・・・+1}の部分です。
　　　nが何個出てきますか?　そうn-1個ありますよね。加えれば全部でn(n-1)になります。
　　　(4)に代入するとn^2は消えてしまいます。
　　だからわからなくなります。

　　突破口は(3)です。
　　S[n]=S[n-1]+n
で左辺は1次式だといっている。
　　1+2+・・+nですが右辺はS[n-1]+nですが、これは1次式ですか。nだけ1次式です。
　　　S[n-1]はnの関数です。これが1次関数だというのは、時期そうしょう(早とちり)です。
　つまり、ここが出題者の本音です。
　　すなわち関数S[n-1]を求めない限り、1+2+・・+nの次数を宣言できないのです。
　やってみましょう
　(4)に戻ります。これは
　　　　S[n]=n^2-S[n-1]と書けますが(3)を代入すると
　　　S[n-1]+n=n^2-S[n-1]
2S[n-1]=n(n-1)
S[n-1]=n(n-1)/2
すなわち関数S[n-1]の次数は2次です。
　だから、1+2+・・+nの次数は2次だといえます。

　あえて、遠回しに解説しました。あなたに疑問を持ってもらいたいからです。

　　想像を書きたてられてゲームになると思います。

PS.私も高校時代2乗和の公式(2)を知って疑問に思いました。左辺は自然数だけの和なのになんで右辺は有理数なんだろうと。6で割り切れないような自然数を探そうとしました。あとでn(n+1)(2n+1)が6の倍数であることを証明した時、もう忘れられません。

お礼

御返答有難うございます

補足

有難うございます、Σk^pの所ににそこまで深い意味があったんですね

>理論的で素直な観察力を持つあなたの全く正しい疑問です。疑う
>余地などありません。
有難うございます、褒められる事は少ないので、うれしいです、
大抵の人からけちょんけちょんに言われるので

pの次数の所は仮定として置くと言う所は分かったんですが、他の～が分かりませんと書いている疑問点をお願いしてもいいですか？