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留数の応用問題

transcendentalの回答

回答No.2

（１）　積分路Cとして、原点を中心、半径R（＞１）の上半円C1とｘ軸上の積分[ーR、R]からなる単一閉曲線をとる。 R→∞のとき、∫[C1]ｆ（ｚ）ｄｚ＝０がいえるので、このとき、 ∫[-∞ to ∞]ｆ（ｘ）ｄｘ＝２πi・Res（ｆ（ｚ）、e^（２πi/３）） となります。 （２）も同様です。（R＞２） I＝２πi・｛Res（ｆ（ｚ）、２i）＋Res（ｆ（ｚ）、i）｝ ＝２πi・｛－１/（１２i）＋１/（６i）｝ ----------------------------- ※　｜∫[C1]ｆ（ｚ）ｄｚ｜≦∫[0 to pi]｜iRe＾（iφ）ｄφ/｛（Re＾（φ））＾２＋Re＾（iφ）＋１｝｜≦∫[0 to pi]Rｄφ/｛R＾２－R－１｝＝２πR/｛R＾２－R－１｝→０（R→∞）

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(1) I=∫[-∞→∞]dx/(x^2+x+1) x+1/2=tとお…
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