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高校数学:ベクトル 至急解答解説をお願いします
info222_の回答
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(1) 辺ABを3:8に内分する点をP ↑OP=↑OA+↑AP=↑OA+↑AB*3/(3+8) =↑a+(↑b-↑a)*3/11 =(1-(3/11))↑a+(3/11)↑b =(8/11)↑a+(3/11)↑b or =(8↑a+3↑b)/11 …(★) …(答) ↑OK=↑OP*11/(11+7) ←(★) 代入 ={(8↑a+3↑b)/11}*(11/18) =(8↑a+3↑b)/18 or =(4/9)↑a + (1/6)↑b …(答) (2) ↑KM=↑OM-↑OK =(1/2)↑a-{(4/9)↑a + (1/6)↑b} ={(1/2)-(4/9)}↑a-(1/6)↑b =(1/18)↑a-(1/6)↑b ↑KM⊥↑OAより 内積(↑KM,↑OA)=(1/18)(↑a,↑a)-(1/6)(↑a,↑b) =(1/18)a^2-(1/6)(↑a,↑b)=0 内積 (↑a,↑b)=abcosθ(θ=∠AOB)より 3abcosθ=a^2 題意よりa≠0と考えられるから a=3bcosθ …(※1) ↑KN=↑ON-↑OK =(1/2)↑b-{(4/9)↑a + (1/6)↑b} ={(1/2)-(1/6)}↑b-(4/9)↑a =(1/3)↑b-(4/9)↑a ↑KN⊥↑OBより 内積(↑KN,↑OB)=(1/3)(↑b,↑b)-(4/9)(↑a,↑b) =(1/3) b^2-(4/9)abcosθ=0 4abcosθ=3b^2 題意より b≠0 と考えられるから 3b=4acosθ …(※2) a>0,b>0なので cosθ>0 …(※3) (※1) より 3b=12bcos^2θ b>0より cos^2θ=1/4 (※3)より cosθ=1/2 …(※4) (※1)より b/a=1/(3cosθ)=2/3 …(答)
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