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漸化式についてです
a[n+2]+a[n]=0 a[1]=-1 a[2]=0 という漸化式の一般項を求めよ、という問題なのですが 最終的にiが残らない形になるようにする方法が分かりません。 どなたか分かる方教えて下さると嬉しいです。 よろしくお願いします。
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よろしくお願いします。 [問題] 次の条件で定められる数列{An}の一般項を求めよ。 A1=2、An+1=An/(1+An) (n=1、2、3、……) [解] 条件により A1=2/1、A2=2/3、A3=2/5、A4=2/7 よって、一般に An=2/(2n-1) ・・・・・・(1) となることが推測される。 一般項が(1)である数列{An}が、条件を満たすことを示す。 [1] (1)でn=1とおくと A1=2 [2] (1)をAn/(1+An)に代入すると An/(1+An)=2/(2n-1)÷{1+2/(2n-1)} =2/(2n-1)÷(2n+1)/(2n-1) =2/(2n+1) =2/{2(n+1)-1} よって、An+1=An/(1+An) が成り立つ。 [1]、[2]から、求める一般項は An=2/(2n-1)。 ※このサイトだと項の番号をうまく表記できないので、A1は初項、Anは第n項、An+1は第n+1項などと表しています。 この問題は数列の一般項を推測し、推測した一般項が条件を満たすことを示して、一般項を求めてるみたいなのですが。 [2]の証明で、どうして(1)が漸化式を満たしてるのか、よく分かりません。どうしてですか?。 また、(1)は推測したものだから、全ての自然数nについて(1)が必ず成り立つとは言えないですよね?。なら、(1)を漸化式に代入できないと思うのですが、どうして代入できるのですか?。 以上ですが。分かるかた、教えてくださいm(__)m。
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お礼
そうですね、確かにiで苦戦していました。 おかげさまで理解することができました。 回答ありがとうございました。