二次関数と二次不等式

質問

２つの不等式　X^2-X-2≧0 　・・・(1)　　　X^2-2X+K < 0 ・・・・(2)
について、次の問いに答えよ。ただし、Kは定数とする。
（１）(1)、(2)を同時に満たす xの値が存在しないようにKの値の範囲を定めよ。

【参考書回答】　(1)：X^2-X-2≧0 の解は　X≦-1、X≧2
ｆ（X）=X^2-2X+K とする。
ｆ（X）=（X-1）^2+K-1 より
y=ｆ（X） のグラフの頂点のX座標は 1　である。
（１）　求める条件は ｆ（2）≧0　である。
よって、　∴ K≧0

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私の答えはこの上記の参考書の回答に(2)式の頂点のy座標= -1+K <0
すなわち、K<1 を加えた。
∴ 0≦ K <1
になりました。

ここで質問です。
頂点のy座標= -1+K <0　は回答に必要ないのでしょうか？
理由は(2)式の頂点のy座標がx軸より下にないといけないと
思ったからです。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞頂点のy座標= -1+K <0　は回答に必要ないのでしょうか？
＞理由は(2)式の頂点のy座標がx軸より下にないといけないと思ったからです。
「同時に満たす xの値が存在しないようにKの値の範囲を定めよ。」ということですから、
不等式(2)が「解なし」という場合もアリですよね・・・

「頂点のy座標がx軸より下」は「解をもつ」ことと同値です。
（頂点のy座標が0以下になることと判別式が0以上であることから同じ式が得られます）

お礼

「解なし」もあり得ますね。
解決できてよかったです、ありがとうございました。