統計学ー期待値

質問

(1)X_1,X_2は独立で、指数分布f(x;θ)=(1/θ)e^(-x/θ)　(x>0)に従うとき、T=X_1+X_2,S=X_2の同時密度関数は、ψ(t,s;θ)={(1/θ)^2}e^(-t/θ) (0＜s＜t＜∞)であることを示し、Tの周辺密度関数を求めよ。
→ヤコビヤンを求め、文字を代入して証明、周辺密度関数はψを[0→t]で積分し、{(1/θ)^2}te^(-t/θ)

(2)t=tを与えたときの、Sの密度関数を求め、Rao-Blackwellの定理における条件付き期待値、T(t)=E(S|T=t)を求めよ。

この問題で、(2)で行き詰まっています。教えてください。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

＞ はい、式を立てるまでが良く分かりませんでしたが・・・
「が…」か、何か問題があるのかな？

f(x) = (1/θ)e^(-x/θ)
X1, X2 が独立に確率密度 f に従うとして、
T = X1 + X2,
S = X2
と定義する。
S, T の同時密度 Ψ は？

同時累積分布を考えて、
∫[0,S] ∫[0,T] Ψ(s,t) ds dt = …
(s＞tのとき) … = ∫[0,t] ∫[0,t-x2] f(x1)f(x2) dx1 dx2,
(s≦tのとき) … = ∫[0,s] ∫[0,t-x2] f(x1)f(x2) dx1 dx2
　　　　　　　　= ∫[0,s] ∫[0,t-x2] (1/θ^2)e^{-(x1+x2)/θ} dx1 dx2
　　　　　　　　= ∫[0,s] {(1/θ)e^(-x2/θ) - (1/θ)e^(-t/θ)} dx2
　　　　　　　　= 1 - e^(-s/θ) - (1/θ)e^(-t/θ)s.
よって、
Ψ(s,t) = (∂/∂s) (∂/∂t) ∫[0,S] ∫[0,T] Ψ(s,t) ds dt = …
(s＞tのとき) … = 0,
(s≦tのとき) … = (∂/∂s) (∂/∂t) {1 - e^(-s/θ) - (1/θ)e^(-t/θ)s}
　　　　　　　　= (∂/∂s) (1/θ^2)e^(-t/θ)s
　　　　　　　　= (1/θ^2)e^(-t/θ).

問題文中の Ψ(s,t) と合っている。

T を固定した S の条件付き確率密度は、
Ψ(s|T=t) = Ψ(s,t) / {∫[0,∞] Ψ(s,t) ds}.
ただし、
∫[0,∞] Ψ(s,t) ds = ∫[0,t] (1/θ^2)e^(-t/θ) ds
　　　　　　　　　　= (1/θ^2)e^(-t/θ)t.

T を固定した S の条件付き期待値は、
E(S|T=t) = ∫[0,∞] s Ψ(s|T=t) ds
　　　　 = ∫[0,∞] s Ψ(s,t) ds / {∫[0,∞] Ψ(s,t) ds}.

∫[0,∞] s Ψ(s,t) ds = ∫[0,t] s(1/θ^2)e^(-t/θ) ds
　　　　　　　　　　　 = (1/θ^2)e^(-t/θ)(t^2/2)
より、
E(S|T=t) = (1/θ^2)e^(-t/θ)(t^2/2) / {(1/θ^2)e^(-t/θ)t}
= t/2.

これで合ってそうな気がするんだけれど…
(計算ミスについては、やや不安)

お礼

スッキリしました。丁寧にありがとうございます。

回答No.1

alice_44

Rao-Blackwellの定理 って、分散を評価する不等式だと思うんだけれど、
何で条件付き期待値が出てくるかな？
条件付き期待値 E(S|T=t) を T(t) と書く気持ちも解らないし、
何で S(t) じゃないの？

ともあれ、T を t に固定したときの S の条件付き確率密度は、
同時確率密度を、T=t となる確率で正規化して、Ψ(t,s)/∫Ψ(t,s)ds.

S の条件付き期待値は、上記の条件付き確率密度を使って、
E(S|T=t) = ∫s{Ψ(t,s)/∫Ψ(t,s)ds}ds = ∫sΨ(t,s)ds/∫Ψ(t,s)ds.

要するに、∫Ψ(t,s)ds と ∫sΨ(t,s)ds を計算すればいいんだけれど、
解らなかったのは、ここまでの話？ この先の計算？

補足

はい、式を立てるまでが良く分かりませんでしたが・・・

Rao-Blackwellの定理で不等式V_θ(T_s)≦V_θ(S)が出てくる前提である、T_s(t)=E(S|T=t)を求めるだけで、Rao-Blackの定理を使うわけではないと思います。

この演習の用紙では、条件付き確率、条件付き分布を求める問題が最初に数問出ているので、Rao-Blackの問題に取り組む前に、復習してえおこう、的な位置づけだと思われます。