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数学III 積分の問題
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回転体の体積公式を使って V=π∫[1,e] (x^2)dy =π∫[1,e] ((log(y))^2)dy =π{[y((log(y))^2)][1,e]-∫[1,e] 2ylog(y)/y dy} =π{e-2∫[1,e] log(y) dy} =π{e-2([ylog(y)][1,e]-∫[1,e] (y/y) dy)} =π{e-2(e-∫[1,e] 1 dy)} =π{e-2e+2[y][1,e]} =π{-e+2(e-1)} =π(e-2)
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- alice_44
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回転体の体積公式として 高校でよく使われるものは、 二種類ある。 いわゆる、ミルフィーユ積分: ∫(πx^2)dy いわゆる、バウムクーヘン積分: ∫(2πxy)dx それぞれ、愛称を参考に、 なぜその式になるのか 一度考えてみると、覚えやすい。 A No.1 が、ミルフィーユ積分による計算。 計算するとき、x を消す代わりに y を消して、 ∫(1→e) x^2 dy = ∫(0→1) (x^2)(dy/dx) dx = ∫(0→1) (x^2)(e^x) dx = [ (x^2)(e^x) ]_(0→1) - ∫(0→1) 2x(e^x) dx = [ (x^2)(e^x) ]_(0→1) - 2{ [ x(e^x) ]_(0→1) - ∫(0→1) e^x dx } = [ (x^2)(e^x) ]_(0→1) - 2[ x(e^x) ]_(0→1) + 2[ e^x ]_(0→1) = [ (x^2 - 2x + 2)(e^x) ]_(0→1) = e - 2. と処理する手もあるだろう。 バウムクーヘン積分もやってみると… 体積 = ∫(0→1) 2πx(e - e^x) dx = 2πe∫(0→1) x dx - 2π∫(0→1) xe^x dx. ∫(0→1) x dx = [ (1/2)x^2 ]_(0→1) = 1/2 - 0. 部分積分で、 ∫(1→e) xe^x dx = [ xe^x ]_(0→1) - ∫(0→1) e^x dx = [ xe^x ]_(0→1) - [ e^x ]_(0→1) = (e - 0) - (e - 1). 以上より、 体積 = 2πe・(1/2) - 2π・1 = π(e-2).
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