ボルツァノ・ワイエルシュトラス

質問

ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理
「有界な数列{ａ_n}n=1,2,... は収束する部分列を含んでいる。」
という定理の証明について、サイエンス社発行、笠原晧司著の「微分積分学」の中で、
「あるaが唯一あって、
∞
∩I_k = {a}, a = lim m_k = lim M_k
k=1　　　　　　　k→∞　　　k→∞　　　」
という記述があるのですが、何故唯一なのかが分かりません。

著作権侵害に当たるといけないので丸写しは出来ないのですが、自分の言葉で置きかえると、
{a_n}は有界だからある閉区間I=[m,M]に含まれる。これを真中でばっさり割って[m,(m+M)/2]、[(m+M)/2,M]を考えると少なくともどっちかには無限個のa_nが含まれる。それをI_1とする。以下同じように、半分に割って無限個含む方をI_kとすると閉区間列I_k=[m_k,M_k](k=1,2,...)が出来て、
　　　　I ⊃ I_1 ⊃ I_2 ⊃ ... ⊃ I_k ⊃ ..., M_k - m_k = 1/2^k * (M - m)→0 (k→∞)
従ってあるaが唯一あって、
∞
∩I_k = {a}, a = lim m_k = lim M_k
k=1　　　　　　　k→∞　　　k→∞
となる、というのが流れです。

半分に割って行く作業で必ずどちらかは有限個しか含まれないのであれば唯一となるのは分かります。
しかし、例えば0,1,0,1,...と言う数列を考えた場合、収束する部分列は少なくとも２つあり、上の「aが唯一あって」という記述に反すると思うのです。

私は何か勘違いをしているのでしょうか？それともこの記述が間違ってるのでしょうか？

回答No.1

suffer · ベストアンサー

この証明では，収束する部分列が少なくとも1つ作れるという事を示しているだけで，2つ以上作れないとは言っていません。

例に出されている，{a_n} = 0,1,0,1,... という数列を考えると，
I_1 = [0,1/2] の場合と I_1 = [1/2,1] の場合が考えられますが，どちらにも無限個の a_n が含まれます。

ですから，
I_1 = [0,1/2] とすると収束値 a は唯一 0 となり，
I_1 = [1/2,1] とすると収束値 a は唯一 1 となります。

つまり収束する部分列は少なくとも2つありますが，{I_k} を1つ決めたときにはその収束値 a は唯1つ，という事ではないでしょうか。

お礼

なるほど。
｛I_k｝が決まっちゃえばそれに対応するaは唯一つと言う事ですね。
納得です。

ありがとうございました。