三角関数の計算問題

質問

三角関数の計算問題です。
模範解答を途中計算もできるだけ書いて教えてください。
どちらか1問でも解いていただけると助かります。

(1) arctan3/4=α, arctan5/12=βのときtan(α+β)とcos(α-β)の値を求めよ。
(2) f(x)=xarcsinxのとき(1-x^2)f"(x)-xf'(x)+f(x)を簡単にせよ。

よろしくお願いします。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

(1)
tanα=3/4
tanβ=5/12
tan(α+β)
=sin(α+β)/cos(α+β)
=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)
=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
={(3/4)+(5/12)}/{1-(3/4)(5/12)}
=(36-20)/(48+15)
=16/73

cos(α-β)
=cosαcosβ+sinαsinβ
=(1+tanαtanβ)cosαcosβ
=(1+tanαtanβ)/√[{1+(tanα)^2}{1+(tanβ)^2}]
={1+(3/4)(5/12)}/√[{1+(3/4)^2}{1+(5/12)^2}]
=(48+15)/√[(16+9)(144+25)]
=63/65

(2)
-1≦x≦1
f(x)=xarcsinxのとき
z=(1-x^2)f"(x)-xf'(x)+f(x)…[1]
t=arcsinx
とすると
f(x)=tx…[2]
x=sint………[3]
1-x^2=(cost)^2………[4]
-π/2≦t≦π/2
cost≧0だから
cost=√(1-x^2)………[5]
[2]を微分すると
f'(x)=t'x+t…[6]
[3]を微分すると
t'cost=1…[7]
[6]を微分すると
f"(x)=t"x+2t'…[8]
[7]を微分すると
t"cost=(sint)(t')^2
↓[3]から
t"cost=x(t')^2
↓[7]を掛けると
t't"(cost)^2=x(t')^2
↓t'で割ると
t"(cost)^2=xt'
↓[4]から
(1-x^2)t"=xt'…[9]
[1],[2],[6],[8]から
z=(1-x^2)(t"x+2t')-(t'x+t)x+tx
z=x(1-x^2)t"+t'(2-3x^2)
↓[9]から
z=t'x^2+t'(2-3x^2)
z=2t'(1-x^2)
↓[4]から
z=2t'(cost)^2
↓[7]から
z=2cost
↓[5]から
z=2√(1-x^2)
∴
(1-x^2)f"(x)-xf'(x)+f(x)=2√(1-x^2)

お礼

ありがとうございました。
テスト、うまくいきました。
またお願いします。

回答No.2

info22_

(1)
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
これにtanα=3/4,tanβ=5/12を代入すれば良い。
なお、α,βは第一象限の角です。

cos(α-β)
=cosαcosβ+sinαsinβ
=cosαcosβ(1+tanαtanβ)
=(1+tanαtanβ)/{√(1+(tanα)^2)√(1+(tanβ)^2)}
これにtanα=3/4,tanβ=5/12を代入すれば良い。

お礼

ありがとうございます。
テスト勉強がはかどりました。

回答No.1

alice_44

で、その問題について、貴方は何をやってみましたか？
何をやって、どこで詰まったかを補足に書けば、
貴方に必要な回答ができる可能性が生じる。
書かなければ、丸写しできる解答が集まるだけです。

お礼

「この問題の解答を答えることができますか？できるのなら解答を教えてください。」と質問しているのです。
質問に対する回答をお答えください。それ以外のあなたの個人的主観とか意見は特に求めていません。