積分

質問

∫0→2π (Q/πa^2)dθ

はどういう結果になるのでしょうか。

また

∫0→a 　(r/√r^2+z^2)dr
の計算方法も途中式付きで解説をお願いできますでしょうか。

物理で式は上記のように立てられたのですが数３をやっていないので恥ずかしいことに積分が出来ません。しっかり理解したいので答えのみというより導出の過程をご教授お願いいたします。

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

必要に応じて高等学校の数IIIの教科書などを参照してください．

前半はQ,aが定数なら直ちに

{Q/(πa^2)}∫_0^{2π}dθ={Q/(πa^2)}2π

=2Q/a^2

後半はまず微分公式

dx^α/dx=αx^{α-1}

と合成関数の公式：y=f(x),x=g(t)のとき

dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)=f'(g(t))g'(t)

を確認してください．すると

√(r^2+z^2)=(r^2+z^2)^{1/2}

を微分すると

d√(r^2+z^2)/dr=(1/2)(r^2+z^2)^{-1/2}2r

=r/√(r^2+z^2)

となります．したがって

∫_0^a(r/√(r^2+z^2))dr=[√(r^2+z^2)]_0^a

=√(a^2+z^2)-|z|(√(z^2)=|z|)

となります．

お礼

ご親切に回答解説ありがとうございました。
また数2までしかとっていない僕でも理解できる途中式の一連の計算方法までご教授下さり本当にありがとうございます。
今後ともよろしくお願い申し上げます。