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極限値の計算
ereserve67の回答
>c^n-1→∞ というところをみるとc>1と仮定して良いですね. (c^n-1)(log(c^n-1)/n ー log c) =(c^n-1)(log(c^n-1)^{1/n}-logc) =(c^n-1)log{(c^n-1)^{1/n}/c} =c^n(1-1/c^n)log{(c^n(1-1/c^n))^{1/n}/c} =c^n(1-1/c^n)log{c(1-1/c^n)^{1/n}/c} =c^n(1-1/c^n)log{(1-1/c^n)^{1/n}} =(1/n)(1-1/c^n)log(1-1/c^n)/(1/c^n) ここで lim_{x→0}log(1-x)/x =lim_{x→0}(-1/(1-x))/1(ロピタルの定理) =lim_{x→0}(-1)/(1-x)=-1 であるので lim_{n→∞}log(1-1/c^n)/(1/c^n)=-1 また lim_{n→∞}(1-1/c^n)=1 lim_{n→∞}(1/n)=0 であるから, lim_{n→∞}(1/n)(1-1/c^n)log(1-1/c^n)/(1/c^n) =0・1・(-1)=0
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お礼
そうです、c>1の仮定を書き忘れていました。 ロピタルの定理での鮮やかな解答、ありがとうございます。 確かに式展開を辿るとそうなっていますね。感動です。 迅速な回答ありがとうございました。