ローラン展開がよくわかりません

質問

数学でローラン展開をやっているのですが、ローラン展開自体が何を表しているのかイマイチわかりません。
イメージだけでも教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund

例えば，sin(x) を x=0 の周りでテーラー展開することはできます．
つまり
(1)　　sin(x) = x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - ・・・
しかし，1/sin(x) を x=0 の周りではテーラー展開できません．
sin(x) = 0 ですので，1/sin(x) は x=0 で特異点になっているからです．
でも，(1) を見ると，1/sin(x) の x=0 付近での振る舞いは
1/x と同じようなものだろうと想像できます．
こういう風に，特異点のある関数のその周りの様子を逆べき(1/x，1/x^2 ，など)も許して
テーラー展開風に近似しようというのがローラン展開です．

1-cos(x) だと
(2)　　 1-cos(x) = (1/2!)x^2 - (1/4!)x^4 + ・・・
ですから，x=0 での異常性(の最も主要な部分)は 2/x^2 だろうと想像できます．

いくらでも異常性の強い項が出てくることもあります．

ローラン展開は通常複素関数論で用いられますので，
変数は実変数 x ではなくて複素変数 z になっていることが普通です．
特に，ローラン展開の 1/z の係数は留数と呼ばれていて，
複素積分の留数定理と関連して非常に重要です．

なお，特異点の周りでいつでもロ－ラン展開できるわけではありません．
log(z) や √z などはローラン展開ができません．

お礼

ありがとうございます。
具体的でとてもわかりやすかったです。