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数学の問題がわからなくて困っています><
数学の問題がわかりません・・詳しい方よければ教えてください>< (1) r>0とする Σ[1,∞] { e^(-nx) / (n+1) } はx∈[r,∞) に関し一様収束することを示せ。 (2) 極限値lim[r→+0] ∫[r,1/r] Σ[1,∞] { e^(-nx) / (r+1) } dxを求めよ。 よろしくお願いします!
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詳しい方よければ教えてください><* (1) r>0とする Σ[1,∞] { e^(-nx) / (n+1) } はx∈[r,∞) に関し一様収束することを示せ。 (2) 極限値lim[r→+0] ∫[r,1/r] Σ[n=1,∞] { e^(-nx) / (r+1) } dxを求めよ。 (1) ∃L∈N , L≦k<lとなる任意の番号k,lをとり、ε=e^(-rl)とする。 | (e^(-(k+1)x)) / (k+1) + (e^(-(k+2)x)) / (k+2) +・・+ (e^(-lx)) / (l+1) | ≦ | (e^(-lx)) / l + (e^(-lx)) / l +・・+ (e^(-lx)) / l | ≦ |((l-k)e^(-lk)) / l | ≦ e^(-lx) ≦ e^(-rl) = ε よって題意は示された。 (2) lim[r→+0]∫[r→1/r] Σ[n=1,∞] (e^(-nx)) / (r+1) dx = Σ[n=1,∞] lim[r→+0]∫[r→1/r] (e^(-nx)) / (r+1) dx = Σ[n=1,∞] ∫[0,∞] e^(-nx) dx = Σ[n=1,∞] [-(e^(-nx))/n][x=0,∞] = Σ[n=1,∞] 1/n = ∞
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