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極限値の問題
OurSQLの回答
- OurSQL
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高校生の質問なのだから、高校生に理解できる回答が原則です。 (1) lim[x → a] f(x)／g(x) = b (有限確定値) かつ lim[x → a] g(x) = 0 のとき、lim[x → a] f(x) = 0 (2) lim[x → a] p(x) = c, lim[x → a] q(x) = d のとき、lim[x → a] p(x)q(x) = cd (2) を証明することは、慣れていないと難しい。 また、(2) を用いずに (1) を証明するのも、けっこう厄介。 しかし、高校生には (2) のみ証明なしで用いてよいという、特権が与えられています。 それゆえ、No.3 の方法を用いることで、(1) は高校生でも証明できます（高校生の場合、それ以外の方法で証明するのはおそらく無理）。 だから、No.3 の方法は、何年も前から高校数学の参考書では必ず紹介されています。 > lim(x→1)（x-1）=０であるから > lim(x→1)（x＾2＋ax＋b）＝０ > 解答にはこのように始まっているのですが 「であるから」という簡単な言葉で2行目につなげていますが、実際にはけっこう行間があることが、お分かりになったと思います。 > この命題の解釈を > 「xは１になるのでそれだと分母が０になってしまい、０での除法は数学的にありえないので > 分子も０になるしかない」 > とこんな感じに僕なりにしてみたんですがあっているでしょうか？ 残念ながら、あっていません。 まず、「x は 1 になるので」という部分が、決定的な間違いです。 「x → 1」の意味について、高校の教科書には、「x が 1 と異なる値を取りながら 1 に限りなく近づく（とき）」と説明されているはずです。 よって、x は決して 1 にはなりません。 それゆえ、分母の (x － 1) も決して 0 にはなりません。 もし分母が本当に 0 になってしまったら、あなたが書いているように、数学的にあり得ないことです。 分母が 0 に等しいなどという滅茶苦茶なことが起きれば、分子が 0 であっても 0 でなくても、どっちみち救われないのです。 lim[x → 1] (x － 1) = 0 という式の意味を、正しく理解してください。 x は 1 に限りなく近づくが、決して 1 に等しくはならない。 よって、(x － 1) は 0 に限りなく近づくが、決して 0 に等しくはならない。 極限値というのは、(x － 1) が最終的にたどり着く値のことではなく、(x － 1) が近づいていく目的地のことです。 lim[x → a] f(x) = b とかいた場合、 ・ x は a に近づくけれど、決して a に等しくはならない。 ・ f(x) のほうは、x が a に十分近づいたとき、目的地である b にたどり着いてしまっても構わない。もちろん、今回の (x － 1) のように、（いつまで経っても 0 という目的地に）たどり着かなくても構わない。 > 未だに極限値というのが微妙な理解です、 めでたく大学に合格してから、御自分で本を読んで勉強すれば、すっきり解決するでしょう。 あまりお勧めはできませんが、もしあなたが数学科に入学すれば、強制的に理解させられることになり、「微妙な理解」では微積分の単位を取得するのは無理です。
noname#157574
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