円に内接している四角形の面積の最大値について

質問

円に内接してる、四角形ABCDにおいて、AB=5 BC=3 ∠ABC=120°である
この四角形の面積の最大値を求めよという問題の解説で理解出来ないのがあります

画像が解説なのですが、対角線ACに下ろした垂線の長さが最大の時が面積も最大になる。
つまり外心を通るので、とあります。なぜ外心を通るのでしょうか？

外心を通る条件は、垂直二等分線だと思うのですが・・・・

回答No.5

mister_moonlight

余弦定理を習ってるなら、代数的に解いてしまえばよい。1つの問題に、解法は1つではない。

余弦定理から、ＡＣ＝7.
△ＡＢＣ＝1/2×15×sin120°＝15√3/4　(＝一定)。従って、△ＡＣＤの面積が最大になると良い。
ＡＤ＝α、ＡＣ＝β　とすると　∠ＡＤＣ＝60°だから　余弦定理より　α＾2＋β＾2-αβ＝49‥‥(1)
△ＡＣＤの面積＝αβ/2×sin60°＝(√3)*(αβ)/2　よって、αβが最大になると良い。

ここからの方法は　3つや4つは　考えられるが、一番近道を行こう。

絶対不等式：α＾2＋β＾2≧2αβが成立するから　これに(1)を代入すると　αβ≦49　等号はα＝βの時。
△ＡＣＤの面積の最大値が　49√3/4だから　四角形の面積の最大値は　15√3/4＋49√3/4＝16√3.