- ベストアンサー
円に内接する四角形の問題
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
rockman9さん、こんにちは。 ＃１の方が詳しい説明してくださっていますが、 ＞「∠ＡＰＢ＝θ」とおくと Ｓ＝１／２ＡＣ・ＢＤsinθ が成り立つので．．． とあります。どういう過程でこの式が導かれたのでしょうか？ 確かに、いきなり出てくると、面くらいますよね。 もうちょっと説明が欲しいところです。 点ＰはＡＣとＢＤの交点ですから 四角形ＡＢＣＤ＝三角形ＡＢＤ＋三角形ＣＢＤ と分けて考えましょう。 ちょうど、ＢＤですぱっと切った感じです。 △ＡＢＤの面積は、 底辺ＢＤ 高さはＡＰ*cosθになるのはいいでしょうか。 △ＡＢＤ＝(1/2)BD*AP*cosθ・・・(1) △ＣＢＤの面積は、 底辺ＢＤ 高さはＣＰ*cosθですから △ＣＢＤ＝(1/2)BD*CPcosθ・・・・(2) ＡＣ＝ＡＰ＋ＣＰですから (1)+(2)より △ＡＢＤ＋△ＣＢＤ＝四角形ＡＢＣＤ ＝(1/2)BD*AP*cosθ＋(1/2)BD*CPcosθ ＝(1/2)BD*(AP+CP)*cosθ ＝(1/2)BD*(AP)*cosθ となって解答の式が出てきます。 線分ＢＤで２つに四角形を切った方が分かりやすいでしょうね。
その他の回答 (2)
- kony0
- ベストアンサー率36% (175/474)
凸四角形の場合なら・・・ S=△APB+△BPC+△CPD+△DPA =(1/2)*PA*PB*sinΘ +(1/2)*PB*PC*sin(180-Θ) +(1/2)*PC*PD*sinΘ +(1/2)*PD*PA*sin(180-Θ) =(1/2)sinΘ*(PA*PB+PB*PC+PC*PD+PD*PA) =(1/2)sinΘ*(PA+PC)(PB+PD) =(1/2)*AC*BD*sinΘ 凹四角形の場合も、同様に４つの△を考えて、加減すれば同じ結果が出てくると思います。
お礼
ありがとうございます！
- assamtea
- ベストアンサー率57% (203/353)
こんばんは。 なにが分からないのかが良く分かりませんが、 ＞ 「∠ＡＰＢ＝θ」とおくと ＞ Ｓ＝１／２ＡＣ・ＢＤsinθ ＞ が成り立つので．．． これがわからないと言う事でしょうか？ でしたら、四角形ＡＢＣＤの面積は、三角形ＡＢＣ＋ＡＣＤとなるため 二つの三角形の底辺をＡＣとした場合、それぞれの高さを足した物は、 頂点ＢからＡＣへの垂線と、頂点ＤからＡＣへの垂線を足した物となる から、絵を描けばすぐに分かりますが、Ｂから下ろした垂線を延長した ものと、頂点Ｄを通ってＡＣと平行な線を引いたところの交点をＦとす ると、二つの三角形の高さの合計はＢＦになります。 今、∠ＡＰＢ＝θなので、∠ＤＰＣ＝θとなります。 また、∠ＤＦＢ＝９０度だから、∠ＢＤＦ＝（１８０度－θ）となるため sin∠ＢＤＦ＝sin（１８０度－θ）＝sinθとなり Ｓ＝１／２（ＡＣ×ＢＤsinθ）になります。
お礼
ありがとうございます！
関連するQ&A
- 円に内接する四角形と三角形
『円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝２、ＢＣ＝２、ＣＤ＝３、ＤＡ＝４とする。２つの対角線ＡＣとＢＤの交点をＥとすると、ＢＥ：ＥＤの比はどうなるか』という問題がありました。解説がほとんどなく、“ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＣＤ”とだけあり、解答が“１：３”となっておりました。なぜＢＥ：ＥＤの比が△ＡＢＣの面積と△ＡＣＤの面積の比なのかわかりません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円Oに内接する四角形ABCDにおいて、AB＝√２、BC＝３、DA＝√２
円Oに内接する四角形ABCDにおいて、AB＝√２、BC＝３、DA＝√２、CD、 ∠ABC＝１３５°とする。また、対角線AC、BDの交点をEとする。 このとき∠CDA、AC、円の半径、CD、△ABCの面積、△CDAの面積を求めよ。 CDの求め方と△CDAの面積が求めれません。 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題です。教えて下さい！
円に内接する四角形ＡＢＣＤがあり、対角線ＢＤはこの円の直径である。 また、ＡＢ＝５、cos∠ＡＢＤ＝９分の５√３、cos∠ＡＤＣ＝－９分の４√２である。 対角線ＡＣとＢＤの交点をＥとするとき三角形ＣＤＥの面積を求めよ。 解き方と考え方がよく分かりません。 詳しい解き方を教えて下さい！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学I・A 教えて下さい
円に内接する四角形ABCDはAB=2 BC=8 CD=DA=4を満たしている。このとき (1)AC=5√2 (2)cos∠ABC=9/16 (3)sin∠ACD=√14/8 である。対角線ACとBDの交点をEとすると (4)AE/EC=1/4 (5)AE=√2 (6)sin∠ABE=？ (7)sin ∠AEB=？ (1)～(5)までは解けたのですが、(6)(7)が分かりません。 どうやるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円に内接する四角形
円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 13 , BC = 14 , CD = 4 , DA = 13 とする。 ( 1 ) 線分ACの長さを求めよ。 AC ＝ 15 ( 2 ) sin ∠ ABC の値を求めよ。 sin ∠ ABC ＝ 12/13 ( 3 ) 四角形ABCDの面積を求めよ。 S = 108 ( 4 ) 線分AC と線分 BD の交点をEとする。AEの長さを求めよ。 △ ABC と △ CBD は BD を底辺とすると底辺共通なのでその面積比は高さの比となる AE : EC = △ ABD : △ CBD = 1/2 ・13・13・sin∠ BAD : 1/2 ・14・14・sin ∠BCD = 13・13 ： 14・4 ＝ 169 ： 56 よって AE = AC × 169 / ( 169 + 56 ) = 15 × 169 / 225 = 169 / 15 ( 4 )の「△ ABC と △ CBD は BD を底辺とすると底辺共通なのでその面積比は高さの比となる 」 はわかるんですが 「 AE : EC = △ ABD : △ CBD 」の、なぜ AE : EC = 面積比 になるんですか？ というか、なぜ AE : EC = 高さの比 になるんですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の三角形、三角関数の範囲の問題について質問です
1、 0°＜θ＜180°とするとき、方程式 3sin^2θ+（√3-3）sinθcosθ-√3cos^2θ＝0の解は θ＝｛問一｝、｛問二｝である。 2、 △ABCにおいて、AC＝4、BC＝6、∠C=60°であればAB＝｛問三｝であり、 この三角形の内接円の半径は｛問四｝である。 3、 0°＜θ＜180°とするとき、方程式√3（cos^2θ-sin^2θ）＝2sinθcosθの 解はθ＝｛問五｝、｛問六｝である。 4、 一辺の長さが3aの正三角形ABCにおいて、辺BCを三等分する点をD、Eとする。 このとき、AD＝｛問七｝であり、cos∠DAE＝｛問八｝である。 5、 円に内接する四角形ABCDがあり、対角線ACとBDは垂直で、この四角形の 面積は50/9である。ACとBDの交点をEとし、∠BAE=45°、AE＝1、BC=aとすれば、 aの値は｛問九｝である。また、この円の半径は｛問十｝である。 この五題がわかりません；；； 解き方、答えを教えてください、よろしくお願いします！；；
- 締切済み
- 数学・算数
- 高1の問題
□の部分に数字を入れる 穴埋めの問題です！ 出来れば解説付きで よろしくお願いします(>_<) 四角形ABCDは円に内接し,∠ABCは鈍角で,AB＝2,BC＝√6,sin∠ABC＝1/√3とする。 また,線分ACとBDは直角に交わるとする。 このとき,cos∠ABC＝□√□/□,AC＝□√□となる。 円の半径は□√□/□であり,sin∠CAB＝□/□,sin∠ACB＝√□/□となる。また,△ABCの面積は√□である。 さらに,ACとBDの交点をHとおくと,CH＝□√□/□,BD＝□/□であり,四角形ABCDの面積は□√□である。 どうかよろしくお願いします(・・;)
- 締切済み
- 数学・算数
- 台形の問題がわかりません。教えてください。
数Iの範囲のようなのですが、全く解けません。どなたか回答をよろしくお願いします。 台形ＡＢＣＤにおいて辺ＡＤと辺ＢＣは平行である。ＡＢ＝６ｃｍ ＢＣ＝１５ｃｍ ＡＤ＝１０ｃｍであり、ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝１/5である。対角線ＡＣとＢＤの交点をＥとする。以下の各問に答えなさい。 (1)ＡＣの長さはいくつか。 (2)ＡＥの長さはいくつか。 (3)ＤＣの長さはいくつか。 (4)ｓｉｎ∠ＤＡＣの値はいくらか。 (5)△ＡＤＥの面積はいくらか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
すいません。とても丁寧に説明していただいたのですが、高さがAP*cosθになる理由がどうしても分かりません。三角比の関係か何かを使ったのでしょうか？理解力が足りないもので…もしよろしければ教えてください！